谈谈解题中的转化策略

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谈谈解题中的转化策略俗话说：“数学是思维的体操”，因此，数学的解题过程就是一个思维的过程，如果要求思维一定成功、思路畅通无阻是不可能的，那么当我们的思维出现障碍，解题思路出现中断时，如何正确有效地去化解这个思维障碍，及时迅速地找到延续解题过程的出路，创造出“柳暗花明又一村”的奇迹呢？解题实践表明：“复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、抽象问题具体化、一般问题特殊化”的策略，常常是十分行之有效的。1复杂问题简单化根据认识论原理，人们认识问题总是从简单到复杂、从个别到一般的。所以，当我们面对一个复杂的问题感到束手无策时，不妨采用退的策略，从复杂的问题退到最原始、最简单的问题，对它作一些探索，借以触发解题的灵感，畅通解题的思路；或者对原问题进行分解转化，将其变为若干个比较简单的问题，然后各个击破，分而解之，逐步达到求解原问题的目的。例1设，求证：分析直接推证原不等式，难以入手，思路受阻。如果从待证结论的结构特征出发，把它分解为三个不等式来推证，可以收到出奇制胜的效果。证明：因为所以从而得即同理三式相乘即得例2已知数列，而数列的各项由如下关系确定：。若且为常数），求的值并证明数列是等差数列。分析要证明是等差数列，可以先退到特殊情况（例如）去考察，求出公差，再由特殊归纳出一般情况。由和令，有和 故得或当时，由得由式得即此与假设矛盾，故因此，只能有，此时，由得再由得又由式得故若成等差数列，因其前三项依次为，所以它的首项为0，公差为，余下的问题是用数学归纳法实现“”的证明。这留给读者去完成。2陌生问题熟悉化在遇到一个情景十分陌生的新问题，当你感到一筹莫展时，不妨选择一个与之类似的熟悉的问题，将它与新问题相比较，设法寻找出两者之间的联系和相似之处，从熟悉问题的方法和结论，去探求解决新问题的思路。例3已知。当在区间内任意取值时，的值恒为正，求的取值范围。分析本题的情景陌生，变元繁多，条件与结论之间的关系错综复杂，初看很难下手，许多学生只能望题兴叹。如果令，当时，有，则原函数式即为问题转化为“关于的一次函数或常数函数在区间上的值恒正，求的范围”。这是我们十分熟悉的基本题型。由函数的图像，得其充要条件为： 所以有且即时，时，3抽象问题具体化数和形是一对孪生兄弟，许多问题直接从“数”（符号或关系）本身去求解，往往难以抓住问题的本质。但若能从形的角度入手，挖掘问题的几何特征，构造一个几何图形，借助于图形的性质将抽象的概念和复杂的数学关系直观化、形象化，可以使得隐含条件清晰可见，解题思路茅塞顿开。例4设是定义在区间上以为周期的函数，对，用表示区间，已知时，求在上的解析表达式对自然数，求集合分析将问题转换为图形语言来处理。第问就是：已知函数在内的图像是抛物线弧（如图1）根据是以为周期的函数，求在内的图像，并写出其解析式。从图像上不难看出在内的抛物线弧，可以看成是由抛物线弧向右平移个单位而得到。故有xoyABPL2HQ图象如下：第（2）问可转化为求实数，使直线与抛物线弧有两个不同的交点，有图形可知问题 和曲线弧有一个交点和曲线弧有一个交点且即得4一般问题特殊化因为普遍成立的结论在特殊情况下也成立，所以，当解决一个一般问题感到困难时，可以先去研究包含在一般问题中的一个特殊的问题，通过对这个特殊问题的研究，去探明原问题的正确结论或摸索出解决原问题的正确途径。例5已知：为常数，且，求证：是周期函数。分析此题难点在于不知道的周期是什么？若能探明的一个周期，则问题可迎刃而解。观察已知等式的特点，联想，发现是满足已知等式的一个特殊函数。由于的周期为，故可猜测在一般情况下，应有为的一个周期，因而需证再回到特例，联想到由此启发我们先推导再得从而使原问题获解。例6在中，成等差数列，求证： 为定值。分析本题的“定值”没有给出，如果直接证明，由于目标不明确就可能得到一个错误的值；也有可能因运算失误而得不到定值，因而怀疑命题是否为真命题（实践证明，有不少同学常出现这种情况）。事实上，取，研究满足题设条件的一个特殊三角形——正三角形，易得定值为1，从而为证明指明了方向。证明成等差数列，由正弦定理得即中，从而原式＝＝＝＝＝＝在教学的过程中，让学生掌握化解思维障碍的基本策略，对于培养学生的思维能力、提高解题效益是大有裨益的。