高三数学导数及其应用2

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1、导数及其应用【专题要点】1.导数的定义:利用导数的定义解题;高考资源网2.求导数(包括求导函数和某一点的导数);3.导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现率较高;4.导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题);5.综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：（1）函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这类问题涉及含参数的不等式、不等式的恒成立的求解；高考资源网（2）函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、

2、最值等问题，这类问题涉及求极值和极值点、求最值，有时需要借助方程的知识求解；（3）利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题；（4）通过构造函数，以导数为工具证明不等式；（5）导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重要问题，也是高考中考察综合能力的一个方向【考纲要求】⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．⑵熟记基本导数公式（(为有理数),的导数）．掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导

3、函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【知识纵横】【教法指引】（1）近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度，体现了在知识网络交汇点出题的命题风格，重点考查导数概念、单调性、极值等传统、常规问题，这三大块内容是本专题复习的主线，在复习中应以此为基础展开，利用问题链向学生展示题目间的内在联系，揭示解题的通法通解，如讲解利用导数处理函数单调性问题时，可设计这样的问题链：已知函数求单调区间知函数在区间上单调求参数若函数不单调如何求参数．（2）要认识到新课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究

4、的领域，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用，这种作用不仅体现在导数为解决函数问题提供了有效途径，还在于它使学生掌握了一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识高考资源网（3）在教学中有意识的与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性，函数的最值极值，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题【典例精析】1.导数定义的应用2BCAyx1O34561234例1(2008北京高考）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分

5、别为，_________．解：由图可知，根据导数的定义知．例２(2006重庆高考)已知函数,其中，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若且，试证：．解：，易知．故，所以解得．2.利用导数研究函数的图像高考资源网例3（2009安徽高考）设＜b,函数的图像可能是解：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C．或当时，当时，选C．点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.例4（2009年湖南卷）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是yababaoxoxybaoxyoxybA．B．C．D．解:因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处函数的变化率是递

6、增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色．3.利用导数解决函数的单调性问题例5（2008全国高考）已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；高考资源网（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导得当时，，，在上递增；当，求得两根为，即在递增，递减，递增。（2）因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得．点评：函数在某区间上单调

7、转化为导函数或在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在上递减，所以求解．【变式1】（2004年全国高考）若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．解：，令得或，结合图像知，故．点评：本题也可转化为恒成立且恒成立来解．【变式2】(2005年湖南高考)已知函数存在单调递减区间，求a的取值范围；解：因为函数存在单调递减区间，所以在上解，从而有正解．高考资源网①当时，为开口向上的抛物线，总有正解；②当时，为开口向下的抛物线，要