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1、高一数学“每周一练”系列试题（27）1．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点，（1）求公共弦AB所在的直线方程；（2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程．2．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0．（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝2时，求直线l的方程．3．已知圆C经过P（4，－2），Q（－1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程；（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB＝90°，求
2、直线l的方程．4．在平面直角坐标系中，N为圆A：（x＋1）2＋y2＝16上的一点，点B（1,0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且·＝0．（1）求动点P的轨迹方程；（2）试判断以PB为直径的圆与圆x2＋y2＝4的位置关系，并说明理由．5．已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l1过定点A（3,0），且与圆C相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C′总过定点，并求出定点坐标．参考答案1、解：（1）⇒x－2y＋4＝0．（2）由
3、（1）得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中得：y2－2y＝0．∴或，即A（－4,0），B（0,2），又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M（x，－x），则
4、MA
5、＝
6、MB
7、，解得M（－3,3），∴⊙M：（x＋3）2＋（y－3）2＝10．2、解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋（y－4）2＝4，则此圆的圆心为（0,4），半径为2．（1）若直线l与圆C相切，则有＝2．解得a＝－．（2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7，或a＝－1．故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0．3、解：（1）直线PQ的方程为y－3＝×（x＋1）即
8、x＋y－2＝0，C在PQ的中垂线y－＝1×（x－）即y＝x－1上，设C（n，n－1），则r2＝
9、CQ
10、2＝（n＋1）2＋（n－4）2，由题意，有r2＝（2）2＋
11、n
12、2，∴n2＋12＝2n2－6n＋17，∴n＝1或5，r2＝13或37（舍去），∴圆C为（x－1）2＋y2＝13．（2）设直线l的方程为x＋y＋m＝0，由，得2x2＋（2m－2）x＋m2－12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝1－m，x1x2＝，∵∠AOB＝90°，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋（x1＋m）（x2＋m）＝0，∴m2＋m－12＝0，∴m＝3或－4（均满足Δ＞0），∴l为x＋y＋3＝0或x
13、＋y－4＝0．4、解：（1）由点M是BN中点，又·＝0，可知PM垂直平分BN．所以
14、PN
15、＝
16、PB
17、，又
18、PA
19、＋
20、PN
21、＝
22、AN
23、，所以
24、PA
25、＋
26、PB
27、＝4，
28、AB
29、＝2．由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．设椭圆方程为＋＝1（a>b>0），由2a＝4,2c＝2，可得a2＝4，b2＝3．可知动点P的轨迹方程为＋＝1．（2）设点P（x0，y0），PB的中点为Q，则Q（，），
30、PB
31、＝＝＝＝2－x0，即以PB为直径的圆的圆心为Q（，），半径为r1＝1－x0，又圆x2＋y2＝4的圆心为O（0,0），半径r2＝2，又
32、OQ
33、＝＝＝＝1＋x0，5、解：（1）∵直线l1过点A（3,0），且
34、与圆C：x2＋y2＝1相切，设直线l1的方程为y＝k（x－3），即kx－y－3k＝0，则圆心O（0,0）到直线l1的距离为d＝＝1，解得k＝±，∴直线l1的方程为y＝±（x－3）．（2）对于圆C：x2＋y2＝1，令y＝0，则x＝±1，即P（－1,0），Q（1,0）．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2方程为x＝3．设M（s，t），则直线PM的方程为y＝（x＋1）．解方程组得P′（3，）．同理可得Q′（3，）．∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为（x－3）（x－3）＋（y－）（y－）＝0，又s2＋t2＝1，∴整理得（x2＋y2－6x＋1）＋y＝0，若圆C′经过定点，只需令y＝0，从而有x2－6
35、x＋1＝0，解得x＝3±2，∴圆C′总经过定点，定点坐标为（3±2，0）．
