专题03 函数与方程 唇齿相依-备战2020年高考数学规律方法专练.docx

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1、函数与方程唇齿相依方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．一、判断方程解的存在性例1已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？【分析】可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．【解析】因为f(－1)

2、＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．【点评】要判断f(x)＝0是否存在实根，即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．二、确定方程根的个数例2若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6

3、]内的解的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:Z+xx+k.Com][来源:Z§xx§k.Com]【分析】利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．【答案】　A【解析】设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1[来源:学科网ZXXK]得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)上有零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调

4、函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.【点评】要在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有唯一的零点．三、求参数的取值范围例3已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．【分析】将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．【答案】　m≥1【解析】因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，[来源:学

5、科网ZXXK]所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.【点评】要本题对方程实根的研究转化为对一次函数f(x)在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程利用了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．例4已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．【分析】若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示.对应的条

6、件是或解出即可．【解析】令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需或，即或解得k>0或k<－4.故k的取值范围是k>0或k<－4.【点评】要本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．