求值域的方法.doc

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1、求函数值域的方法1、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。例1：求函数的值域。∴函数的值域为。例2.求函数的值域。例3.已知函数，，求函数的值域。所以：，2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数的值域。故函数的值域是：[4，8]例2：求函数（）的值域。，∴函数（）的值域为。例3．求函数的值域。。例4．求函数在区间的值域。所以函数在区间的值域是。3、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例3：求函数的值域。∴函数的值域为

2、。4、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例4：求函数的值域。∴函数的值域为。5、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例1：求函数的值域。∴函数的值域为。例3.求函数的值域。故原函数的值域为例8．求函数的值域。值域为例6．求函数的值域。所以值域为。6、判别式法：把函

3、数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）例1.求函数的值域。故函数的值域为7、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例1：求函数的值域。∴函数的值域为。例2．求函数在区间上的值域。函数在区间上的值域为。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例3：求函数的值域。所以：，。8、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例1：求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得，∵，∴（，），∴，∴，∴函数

4、的值域为9、图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例1：求函数的值域。由图像知：函数的值域为例2.求函数的值域。故所求函数的值域为：例3.求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例4.求函数的值域。解：将函数变形为：例5．求函数的值域。所以：值域为10.不等式法利用基本不等式，求

5、函数的最值，此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。例3．求函数的值域。值域注意：利用重要不等式时，要求且等号要成立。11.一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例1.求函数的值域。解：∵定义域为由得故或解得故函数的值域为12.多种方法综合运用例1.求函数的值域。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法