浅谈学习实变函数的感受

《浅谈学习实变函数的感受》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、浅谈学习实变函数的感受——从Riemann积分到Lebesgue积分张六凤数学与应用数学1210503323摘要：本文首先介绍了Riemann积分的定义和Riemann积分的缺陷，再介绍了Lebesgue积分的定义。最后指出了Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系。发现Riemann积分和Lebesgue积分在各自相应的时期都发挥着巨大的作用.从狭义上看，Lebesgue积分可以看作是Riemann积分的推广，同时.Lebesgue积分的创立是积分发展从近代水平向现代水平升华的一次

2、智力革命，Lebesgue积分不仅扩大了可积函数类，而且还由于它独特的性质，解决了许多古典分析中不能解决的问题，使数学进入了现代分析时代.关键字：Riemann积分Lebesgue积分一、Riemann积分（一）定义（R）abfxdx=lim

3、T

4、i=1NfξΔxi其中Δxi=xi-xi-1,xi-1≤ξi≤xi(二)几何意义（非负函数）：函数下方图形的面积注意：Riemann积分与分割T，介点ξi无关（三）Riemann积分的缺陷Riemann积分理论把区间的长度作为测量点集的大小的基础，有界

5、开区间（a,b）的长度即b-a，根据我们的常识，实数轴上的任意有限多个两两不交的有界开区间的并集的大小，恰是组成它的开区间的长度总和，定义为测度，这个规律就是所谓有限可加性。如果在实数轴上任意的一个有界的范围内，有无限多个两两不交的有界开区间，他们的并集是不是应该有个大小尺寸即测度，并且这个集的测度应该恰为组成它的所有的开区间的长度的总和呢？从有限可加性到σ–可加性，放映了人们对客观世界的认识从“有限”发展到“可数无限”的提高所以Riemann的理论还停留在初等水平上，它不承认测度σ-可加性，这

6、是它的本质缺陷。二、Lebesgue积分（一）定义设是一个勒贝格可测集，，是定义在上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组记并任取（我们约定，当时，），作和如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作三、Riemann积分与Lebesgue积分的区别与联系（一）、可积函数的连续性连续函数是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是勒贝格可测函数，那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎

7、曼可积的一个比较好的充要条件：函数在上黎曼可积的充要条件是在上一切间断点构成一个零测度集.这说明黎曼可积函数是几乎处处连续的.例如黎曼函数这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的.虽然在中有无穷多个有理点，即黎曼函数在上的不连续点有无穷多个，但这个函数在上仍是黎曼可积的，且有事实上，中的全体有理数组成一个零测度集，所以黎曼函数是黎曼可积的.现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质呢？设是可测集上的连续函数，则在上勒贝格可积的充要条件是在上勒贝格可测.有限区间上的连续函数是可测函数，对

8、于几乎处处连续的函数，它显然几乎处处等于一个连续函数，而几乎处处等于一个可测函数的函数也可测，所以一个几乎处处连续的函数在有限区间上是可测函数.从这里我们也可以看出黎曼可积函数必是勒贝格可积函数.（二）积分的可加性[4]这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性.黎曼积分具有有限可加性，即若，均为有限区间，（）则有但是黎曼积分不具有可数可加性，对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷参考文献[1]李文林．数学史教程[M]．北京：高等教育出版社，2002.[2

9、]刘玉莲等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1992.总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。简介　　近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达

10、。它们对健康的好处有：（1）抗炎症（2）抗过敏（3）抑制细菌（4）抑制寄生虫（5）抑制病毒（6）防治肝病（7）防治血管疾病（8）防治血管栓塞（9）防治心与脑血管疾病（10）抗肿瘤（11）抗化学毒物等。天然来源的生物黄酮分子量小，能被人体迅速吸收，能通过血脑屏障，能时入脂肪组织，进而体现出如下功能：消除疲劳、保护血管、防动脉硬化、扩张毛细血管、疏通微循环、活化大脑及其他脏器细胞的功能、抗脂肪氧化、抗衰老。　　近年来国内外对茶多酚、银杏类黄酮等的药理和营养性的广泛深入的研究和临床试验，证实类黄酮既是