实变函数5.42

《实变函数5.42》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第四节微分与不定积分目的：熟练掌握单调函数的结构，熟悉单调函数的基本性质以及跳跃度、跳跃函数等重要概念。重点与难点：单调函数的性质与结构。4.2单调函数的结构基本内容：一．问题的提出问题1：Newton-Leibniz公式告诉我们什么？它的重要性表现在什么地方？对于Lebesgue积分而言，能否建立类似的结论？第二节单调函数的结构牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，如果是[a,b]上的连续函数，则是的一个原函数，即。第二节单调函数的结构第二节单调函数的结构假如我们将Riemann积分换成Lebesgue积分，类似的结论是否仍成立？具体地说，若是[a,b]上的Lebesgue可积函数，则在[a

2、,b]上是否可导？如果可导，其导函数是否等于？另一方面，如果是[a,b]上的可导函数，则在[a,b]上是否可积？如果可积，则是否等于？不难看到，无论是对Riemann积分还是对Lebesgue积分而言，一个函数即使处处有导数，其导函数未必是可积的。第二节单调函数的结构第二节单调函数的结构例如，若则在[0,1]上处处有导数，然而在[0,1]上却是不可积的(参见江泽坚、吴智泉合编《实变函数论》第二版，高教出版社1998)。那么，什么样的函数的导函数是可积的呢？这正是我们关心的问题。二.单调函数的间断点定义1设f是定义在实直线R1中点集E上的有限函数，如果对任意，当时，不等式恒成立，就称f

3、是E上的单调增加函数。如果恒成立，则称f为E上的严格单调增加函数。第二节单调函数的结构第二节单调函数的结构如果当时，不等式恒成立，则称f是E上的单调递减函数。若不等式恒成立，则称f为E上的严格单调递减函数。第二节单调函数的结构问题2：单调函数的间断点哪些类型？间断点有多少？第二节单调函数的结构若f是E上的有限函数，在点的右极限存在，则称为f在点的右方跳跃度，若f在点的左极限存在，则称为f在点的左方跳跃度。第二节单调函数的结构若f在的左、右极限都存在，但其左、右方跳跃度不全为0(即不全相等)，则称为f的第一类不连续点，若f的不连续点不是第一类的，则称为第二类不连续点。定理1设f是[a,

4、b]上的单调递增函数，则f具有下列性质：(1)f的不连续点全是第一类的；(2)f的不连续点集至多可数；(3)f在不连续点的左、右方跳跃度都是非负的，并且所有跳跃度的总和不超过。第二节单调函数的结构证明：(1)首先证明，对任意存在。事实上，由于　　　　，故存在N，当　　时，，由单调性得且是单调下降的序列，故存在，且。第二节单调函数的结构第二节单调函数的结构记，则对任意，存在，使得，对任意，显然有，由f的单调性得，因此，即。类似可证也存在，故f的不连续点必是第一类不连续点。(2)由(1)的证明知对任意，有，当时显然，当时，，这说明f在中任一点的左、右方跳跃度均非负，第二节单调函数的结构第

5、二节单调函数的结构设F为f在上的不连续点全体，若，且，则由f的单调性可知，因此开区间与互不相交，且由于F中点为不连续点，故。记F为中开区间全体所成的类。第二节单调函数的结构作对应关系如下：，并记，则是中互不相交的开区间构成的集类，从而最多可数，显然是F到的一一对应，所以F也是至多可数的集合。第二节单调函数的结构(3)记，对任意正整数N，不妨设，取，则，因此，第二节单调函数的结构进而令立得证毕。三．单调函数的可积性问题3：[a,b]上的单调函数是否一定是R-可积的？为什么？第二节单调函数的结构定理2设f是[a,b]上单调增加的有限函数，则f是[a,b]上的Riemann可积函数。第二

6、节单调函数的结构证明：由于f在[a,b]上有限，故，从而由单调性知f是[a,b]上的有界函数，由定理1知f至多有可数个不连续点，其不连续点集显然是零测集，由本章§2定理6知f必是Riemann可积函数，证毕。第二节单调函数的结构四.跳跃函数问题4：能否找到一个结构相对简单的函数，其间断点与所给定的单调函数相同？且对应点处的跳跃度也相同？找一个在一点间断的例子。定义2设是两组数(p是正整数或)，满足，设是中的p个点，称下列函数为跳跃函数，其中是所谓的Heaviside函数：第二节单调函数的结构如果都是非负数，则不难验证是单调增加的。一般情况下，可令，则，于是第二节单调函数的结构第二节单

7、调函数的结构都是单调增加的跳跃函数，且是上的跳跃函数，若，则(i)是的不连续点集。(ii)每个都是的第一类不连续点，且在点的左方跳跃度为，右方跳跃度为。第二节单调函数的结构引理1设则在x点连续，且证明：首先证明，只要x不等于，则在x点连续，事实上，当时，结论是显然的。现设，令第二节单调函数的结构由于级数收敛，故，所以在上一致收敛到，从而对任意，存在使得时，有第二节单调函数的结构若，则由在x点的连续性知存在，当时，有，进一步。由的任意性知在x点连续。第二节单