实变函数5.45

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1、4.5绝对连续函数本讲目的：掌握绝对连续函数的定义，，熟悉绝对连续函数的基本性质。熟练掌握Newton-Leibniz公式成立的充要条件。重点与难点：Newton-Leibniz公式的证明。第四节微分与不定积分第五节绝对连续函数一.绝对连续函数的定义现在回到我们最初的问题上来：牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？第五节绝对连续函数从单调函数的例子及上面的讨论不难看到，有界变差函数的导数虽然可积，但也未必能使牛顿—莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强，这正是下面要引入的定义8设f是[a,b]上的函数，若对任意，存在，使得对于[a,b]中的任意一组分点：，只要，便有，则称f是[a,b]上的绝对连续

2、函数，或称f在[a,b]上绝对连续。第五节绝对连续函数二.牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件从定义立知,[a,b]上的绝对连续函数一定是一致连续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？假设是[a,b]上的绝对连续函数，于是对任意，存在，使得只要，就有，取正整数N，使得，将分成N等分，设分点为第五节绝对连续函数对[a,b]的任一分划添加进去，得新的分划，于是因此，。这就是说,连续函数一定是有界变差函数。下面的定理指出：对绝对连续函数，牛顿—莱布尼兹公式是成立的。第五节绝对连续函数定理9设上的绝对连续函数，则上几乎处处可微,上Lebesgue可积，且证明：由上面的讨论，显然仅需证明等式成立

3、。第五节绝对连续函数对于则上的可积函数，且第五节绝对连续函数往证上积分等度绝对连续的函数序列。任取使得定义8中的不等式成立。设内一列互不相交的区间,使得,则对任意正整数,有第五节绝对连续函数从而对任意，有进而第五节绝对连续函数由积分的绝对连续性易知，，第五节绝对连续函数进而对任意开集，只要，便有若是型集，是开集,则可设，当k充分大时，也有,因此由（为什么？）立得第五节绝对连续函数现设是任意可测集，，则可找到型集。使于是这说明具有积分等度绝对连续性，由Vitali定理立知第五节绝对连续函数证毕。第五节绝对连续函数定理9告诉我们，绝对连续函数的确可以表示成其导函数的Lebesgue积分，但问题

4、尚未得到圆满解决，因为我们还不知道绝对连续性是否为牛顿一莱布尼兹公式成立的必要条件，现在就来讨论这个问题。定理10设上的Lebesgue可积函数，且对任意则，则。第五节绝对连续函数证明：由及积分的基本性质不难得知对[a,b]内任意区间I，有,于是对[a,b]内任意开集G，也有,对[a,b]内任意闭集F,令则G是开集，注意到，从而第五节绝对连续函数现设E是[a,b]内任一可测集，则对任意正整数n，存在闭集，使得，由积分的绝对连续性知对任意，存在N，当时,有因此，第五节绝对连续函数由的任意性知。如果，则，,至少有一个是正测度集。从而存在正整数n，使或不妨设。，则第五节绝对连续函数这与上面的证明

5、矛盾，故必有证毕。定理11设是上的Lebesgue可积函数，其中c是任意常数，则上的绝对连续函数，且。证明：由积分的绝对连续性立得上的绝对连续函数，于是几乎处处可微，且在上可积,第五节绝对连续函数并有。又由F的定义知,所以对任意,有。由定理10便得。至此我们得到了：一个函数等于其导数的Lebesgue积分当且仅当该函数为绝对连续函数。由此可以证明，对于绝对连续函数，分部积分公式及换元公式都是成立的。具体说来即有下面的第五节绝对连续函数推论1（分部积分法）设，均为上的绝对连续，则推论2（换元法）若设是上的可积函数，是单调绝对连续函数，推论1与推论2的证明作为练习留给读者。