实变函数 (6)

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1、第一节外测度第三章测度论1.引言其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1xi(1)Riemann积分回顾（分割定义域）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?圆的面积内接正n边形的面积（内填）内接外切外切正n边形的面积（外包）达布上和与下和Riemann积分xi-1xi达布下和的极限下积分（内填）xi-1xi达布上和的极限上积分（外包）2Lebesgue外测度(外包)为

2、E的Lebesgue外测度。定义：，称非负广义实数下确界：即：用一开区间列“近似”替换集合E例设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0证明：由于E为可数集，再由ε的任意性知()例中单点集的外侧度为零，即2.平面上的x轴的外测度为0思考：１.设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0思考：3.我们知道有理数与无理数在[0,1]上都稠密，问证明中的开区间列是否覆盖了区间[0,1]由无理数集在[0,1]上稠密可知上面叙述的错误出在取　　　　，因为i的取定依赖于δ事实上，能否覆盖取决于ε的选

3、取()思考：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Ｃantor集的余集的构成区间）([())()(()])０　　　　　　　　　　　　　　１注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列4.Lebesgue外测度的定义中，若我们用有限个开区间覆盖[0,1]中的有理数全体，是否这有限个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）故外侧度的定义中，是可数个而不是有限个（2）Lebesgue外测度的性质(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界

4、反而大。（b）单调性：（a）非负性：，当E为空集时，（C）次可数可加性证明：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间{Inm}列近似替换An）注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界由的ε任意性，即得注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。若d(A,B)>0,则例证明参见教材p

5、-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广对任意区间，有例：Cantor集的外测度为0。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集证明：令第n次等分后留下的闭区间为