实变函数问题

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1、实数的完备性1实数连续性的等价描述1．求数列{Jn}的上、下确界：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2．设在上定义，求证：(1)(2)3．设，且，试证自中可选取数列且互不相同，使；又若，则情形如何?4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界．5．试分别举出满足下列条件的数列：(1)有上确界无下确界的数列；(2)含有上确界但不含有下确界的数列；(3)既含有上确界又含有下确界的数列；(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．2实数闭区间的紧致性1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4．2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．3．

2、用区间套定理证明单调有界数列必有极限．4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件去掉或将条件去掉，结果怎样?试举例说明．5．若无界，且非无穷大量，则必存在两个子列(为有限数)．6．有界数列若不收敛，则必存在两个子列．7．求证：数列有界的充要条件是，的任何子数列都有收敛的子数列．8．设在上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：在上有界．9．设在无界，求证：存在，对任给，函数在上无界．10．设是上的凸函数，且有上界，求证：存在．11．设在上只有第一类间断点，定义求证：任意的点只有有限多个．12．设在上连续且有界，对任意，在上只有有限个根或无根，求证：存在．3实数的完

3、备性1，设在连续，求证：在一致连续的充要条件是与都存在，2．求证数列当时的极限不存在．3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性：(1)(2)(3)4．证明存在的充要条件是：对任意给定，存在，当时，恒有5．证明在点连续的充要条件是：任给，存在，当时，恒有6．证明下列极限不存在：(1)(2)(3)(4)(5)7．设在上可导，单调下降，且存在，求证．8．设在可导，且，任给，令求证，(1)存在；(2)上述极限为的根，且是唯一的．9．设在满足条件：(1)(2)的值域包含在内．则对任意，令，有(1)存在；(2)方程的解在上是唯一的，这个解就是上述极限值．4再论闭区间上连续函数的性质1．设在上连续，并且最大

4、值点是唯一的，又设，使，求证2．设在上连续，可微，又设(1)(2)如果，则有，求证：的根只有有限多个．3．设在连续，，，求证：存在，使，且．4．设是上的连续函数，其最大值和最小值分别为和，求证：必存在区间，满足条件：(1)或；(2)，当．5．在连续，且，求证：存在，使．6．设在上连续，且取值为整数，求证：常数．7．设在上一致连续，，证明在上有界；8．若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数，使得证明：在上一致连续．9．试用一致连续的定义证明：若函数在和上都一致连续，则在上也一致连续．10．设在上连续，且与存在．证明；在上一致连续．11．若在区间(有穷或无穷)中具有有界的导数

5、，即，则在中一致连续．12．求证：在上一致连续．13．设在上可导，且，求证：在上不一致连续．14．求证：在上不一致连续．5可积性1．判断下列函数在区间上的可积性：(1)在上有界，不连续点为；(2)(3)(4)2．讨论三者间可积性的关系．3．设都在上可积，证明：在上也是可积的．4．设在上可积，且，求证：(1)在可积；(2)在可积．5．设在可积，求证：任给，存在逐段为常数的函数，使6．设在上有界，定义求证7．设在附近有定义且有界，定义求证：在连续的充分必要条件为．8．若函数在可积，证明：其中(这一性质称为积分的连续性)．9．对任意省仨成立，求证：10．设在有连续的导函数，求证：11．设在可积，求证

6、；存在连续函数序列，使12．设在黎曼可积，求证：(1)存在区间序列使且；(2)存在，使得在点连续；(3)在上有无穷多个连续点．