b(x)上保持算子拟仿射性或值域稠性的线性映射

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1、维普资讯http://www.cqvip.com数学年刊24A：1(2003)，41—46B(x)上保持算子拟仿射性或值域稠性的线性映射料木崔建莲牛侯晋川料提要设和y是无限维的复Banach空间，圣是从B(x)到B(Y)保单位的线性满射．本文证明了圣双边保算子的拟仿射性当且仅当圣为同构或反同构；圣双边保算子的值域稠性当且仅当圣是同构．关键词压缩谱，拟仿射，线性保持映射MR(2000)主题分类47B48，47A10，47L10中图法分类O177．1，O177．3文献标识码A文章编号1000—8314(2003)

2、01—0041—06§1．引言算子代数上保持算子某种性质不变的线性映射的研究在近二十年里吸引了许多数学家的注意力．特别地，不少文献对于保谱映射进行了深入探讨【，，0，5，7】．最近，算子代数上保持算子的部分谱或保持有关算子值域或零空间性质的线性映射的研究也引起人们的重视．设和y是复Banach空间，记B(x，Y)(如果X=Y，())是从到y的所有有界线性算子组成的Banach空间．对于T∈()，集合盯(T)，ap(T)和盯。()分别代表T的谱，点谱和压缩谱．令△(·)代表谱的子集，(即对所有的T，都有△(T)

3、盯(T)，有时也称△(·)是谱函数)，且：B(X)一÷B(Y)是线性映射．如果△(())A(T)(或△(())=△())对任意的T∈B(x)都成立，称是压缩(或保)△(·)的．类似地，如果具有性质(P)蕴涵(或当且仅当)()具有性质(P)，称保(或双边保)算子的性质(P)．在【1O]中，Semrl证明了(x)上每个保点谱的线性满射都是自同构；B(H)上每个保满谱的线性满射都是自同构，其中日是Hilbert空间．文【4】讨论了半单Banach代数间压缩包含谱边界的某些部分谱的线性映射，证明了这样的线性满射是Jo

4、rdan同态．然而，文【4]中的方法不适用于谱函数。(·)和oIp(·)．作为【4】和【10】的继续，本文讨论B(x)上保谱函数△(·)=op(·)u盯。(·)或盯。(·)的线性映射，进而刻画了双边保持算子拟仿射性或值域稠性的线性映射．这里，算子称为拟仿射的，如果它是单射且具有稠值域．如果dimX

5、原030024山西师范大学数学与计算机系，山西临汾041004．E-mail：jhou~dns．sxtu．edu．cn国家自然科学基金(No．10071046)和山西省自然科学基金(No．981009)资助的项目．维普资讯http://www.cqvip.com数学年刊24卷A辑对于∈X且，∈X，用0，代表一秩算子．÷(，，)，其中(，，)表示，在点的值．设M是X的线性子空间，M的维数由dimM表示．对于T∈t3(X)，rng(T)和ker(r)分别代表T的值域和零空间．用span{G)表示X的子集G的线性张

6、．C和分别代表复平面和自然数集．§2．保持算子拟仿射性的线性映射本节讨论B(X)上保谱函数(．)LJ(·)的线性映射，进而刻画双边保算子拟仿射性的线性映射．首先证明下列有关一秩算子刻画的引理．引理2．1设是复Banach空间且△(·)=op(·)u。(·)或。(·)．如果A∈B(x)非零，则下列条件等价．(1)A是一秩算子．(2)对每个T∈B(x)及c≠1，都有A(T+A)nA(T+cA)△()．证(1)(2)．设A=0，∈8()．假定存在T∈B(x)以及，c∈C，使得入△(T1但入∈A(T+A)nA(T+c

7、A)．将证明c=1．如果△(．)=oc(．)，则-T一，0不是单射，从而，∈rng(-T)．因此存在g∈X，使得(—T)9=，．因为(—T)(—g)=—一，0和(—T)(—cg0)=—T一c，0不是单射，而—T是单射，故有{1，-1}Co(g0)，此与一秩算子只有一个非零谱矛盾．故c=1．如果△(·)=op(·)u。(·)，考虑下面的四种情形．情形∈。(+A)n。(+cA)或∈(+A)n。rp(+cA)显然蕴涵c：1．现在假定∈(+A)n。(+cA)．如果c≠1，由上述的两种情形，可假定入(T+A)uo

8、p(

9、T+cA)，且不失一般性，也可假定=0．由于0∈。rp(+A)且0()，有mg(A)Crng(T)．故存在∈X，使得Tu=．又由于0(+cA)且0()u。()，于是+cA=T(z+c0，)具有稠值域，与0∈。(+cA)矛盾．所以c=1．最后一种情形∈。(+A)n。rp(+cA)可类似讨论．(1)(2)得证．(2)(1)．假定rankA>1，将证明条件(2)不成立．首先假定存在，∈X，使得，，A，，(