圆周上稠定闭的Toeplitz算子

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1、英文摘妥AbstraCtInthispaper，the孔eplitzoperatorswithsynlbolsinLZ(T)arede6ned.and山eyal·eprovedtobederlselyde行rledaxldelosed.Theeozlditio了15fortheirlallgetobee]oseda:一egive丁1.Firlal]ytheresolvelltcollVergelleeOfToePlitzoPe一‘ato一sequellce15discussed.a一ldsu伍eic一Itconditiollsofresolve

2、nteonvergeneeinnormandresolve一IteonvergelleeinstrongoPeratortoPologyareglven.KeyW6rds:TOePlitzoPel一ato一，dellselyderi一ledelosedoPer‘ato‘5.1’esolve‘ItconVerge，Ice111norln.resolve:Iteonvergeneeinstro一19oPe一atortoPology·ChineseLibraryClassifieationnumber:0177一2一第一章引言结_音已!言二布习言拼‘

3、J.卜刁泛函分析是上世纪30年代形成的数学分支，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中诞生的。它综合运用函数论、几何学、现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数、算子和极限理论。随着学科的发展，泛函分析与数学物理方程、概率论、计算数学等分科的联系越来越紧密，同时，也成为研究这些学科的重要数学工具。ToePlitz算子是泛函分析中一个重要的课题。自上世纪中叶以来，ToePlitz算子吸引了大量学者的目光，得到了深入的研究，取得r丰硕的成果。不论在理论上，还是方法论上，都取得f很人的进展。除f自身理论得到了很人的发展，To叩htz算子和量子物理

4、、量子力学、概率论、计算数学、信息控制论等其他学科也产生了密切的联系;另一方面，ToePlitz算子与算子代数、函数论等数学分支中的问题相互联系、相互推动。木章概况了ToePlitz算子的发展历史和研究概况。最后一节简单介绍了论文的主要工作。Toep一itz算子简介早在上世纪初，德国数学家ToePlitz[29」研究了一类矩阵，即ToePlitz矩阵。它指位于任何一条平行于主对角线的直线上的矩阵元素皆相同的无穷维矩阵。用数学的语言来表达:对于矩阵!a，，]、:，存在某个数列{。。}，二:，使得。、，二。*一，7。这一矩阵的发现有重要的理论价值，

5、ToePlitz证明了由数列{a。}，，。:诱学的ToePlitz矩阵可以定义产(黝或22(z+)上一个有界算子的充要条件为{a几}。。:是LOQ(T)中某个有界可测函数沪的Fourier系数，T表示复平面上以原点为中心的单位圆周。设算子尸是LZ(T)到H盯dy空间HZ(T)上的投影算子。Loo(T)为圆周上木性有界的函数全体。定义ToePlitz算子凡:HZ(T)、HZ(T)，凡(f)=尸(帆月，其中钾任LOG(T)·Brown和Halmos[20]开创性地发现了Toeplitz算子和Toeplitz矩阵的密切联系。他们证明了若数列{a。}。

6、。:是某个有界可测函数笋的Fourier系数，则在HZ(T)的正交基下，Toeplitz算子几的矩l浑表示!。*，」，一，满足。2了=a，一;，即Toeplitz矩l库。由于在数学物理方程、量子物理、量子力学等学科的运用，自上世纪五十年代以来，人们对ToePlitz算子进行了人量的研究。从上世纪中叶一3一第一章引言开始，Hartman和Winter研究了肠eplitz矩阵和Toeplitz算子的谱。六十年代始，Brown和Halmos系统地研究了ToePlitz算子的代数性质，得到了一系列重要的结论:包括To叩litz算子的交换性，紧性以及乘积

7、性等重要性质，为以后的研究开拓了道路。此后Douglas创造性地使用代数的方法去研究ToePhtz算子，拓展了研究TeoPlitz算子的方法，使得很多定理的推导变得简单易行。到目前为止，虽然在ToePlitz算子研究上取得了很多重要的结果，但是仍有许多重要的问题还未得到解决。相信经过数学家的不断努力，Te叩htz算子理论必将变得更为丰富。ToePlitz算子的交换性算子的交换性是一项重要而良好的性质，而一般的ToePlitz算子并不具有交换性。何时ToePlitz算子是可交换的一直是研究的热点。至今，对ToePlitz算子的交换性已经取得了很多

8、成果。1964年，美国数学家Brown和Halmos[20]给出了Hardy空lb]上的而ep一itz算子交换性定理:令f不[I夕是有界函数，则Toe