dirichlet空间上的紧算子

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1、数学物理学报2009，29A(5)：11961205http：／／actams．wipm．ac．cnDirichlet空间上的紧算子夏锦王晓峰曹广福(广州大学数学与信息科学学院广州510006)摘要：若s是Dirichlet空间上有限个Toeplitz算子乘积的有限和，s为紧算子的充要条件是：当—OD时，S的Berezin型变换收敛到0；若S是Dirichlet空间上Hankel算子，S为紧算子的充要条件是：当z—OD时，S作用在类再生核上按范数收敛到0．关键词：Dirichlet空间；Toeplitz算子；Hankel算子；紧算子．MR(2000)主题分类：47B35中图分类号：

2、O177文献标识码：A文章编号：1003—3998(2009)05—1196—101引言若s是解析函数空间上有限个Toeplitz算子乘积的有限和或Hankel算子，则S是否为紧算子与它的Berezin变换有密切联系，这一直是人们关注的热点问题，许多数学家在这方面作了大量工作．Zhu在文献【1]中证明了：若乱是非负函数，则Bergman空间上Toeplitz算子为紧算子等价于当z趋于单位圆盘边界时，的Berezin变换趋于0．Korenblum与Zhu在文献【2]中证明了：若u是径向函数(对z∈D，r“(z)=u(Iz1))，则与Zhu[]有相同结论．Stroethof在文献『3]

3、中证明了：若“相对于双曲度量一致连续，则类似z}lu【】中结论成立．若∈(D)，Zheng在文献[4]中证明了在Bergman空间L2a(D)上如下说法等价(1)Toeplitz算子为紧算子；(2)当z—OD时，II也llL2—0，其中k。是正规化再生核；(3)当z—OD时，lIP(u。)tlL一0，其中P由到的正交投影，。是单位圆盘D到D的MSbius变换；(4)当Z—OD时，{IP(uo)11L一0，1

4、价(a)S为紧算子；(b)当z—OD时，l1SllL2—0；(C)当—OD时，S(z)一0，其中S(z)是s的Berezin变换．收稿日期：2007—11—21；修订日期：2008—08—06E-mail：xiaj@cdut．edu．CI1，wangxiaofeng514@tom．com基金项目：国家自然科学基金(1067042)和高等学校博士学科点专项科研基金资助No．5王晓峰等：Dirichlet空间上的紧算子1197本文就Dirichlet空间上Toeplitz算子与Hankel算子情形讨论这个问题，得到结论为：若S是Dirichlet空间上有限个Toeplitz算子乘积的有

5、限和，为紧算子的充要条件是：当—OD时，S的Berezin型变换收敛到0；若S是Dirichlet空间上Hankel算子，S为紧算子的充要条件是：当z—OD时，S作用在类再生核上按范数收敛到0．在证明中我们使用了与Bergman空间情形不同的方法．记dA是复平面C内单位圆盘D上正规化的Lebesgue测度，，是满足条件Ilull，=[(f(z)2+I()d]<。。的子空间．1，=丁L2,1是Hilbert空间，其内积为(=(，)L。+(，)Dirichlet空间是由f，内全体解析函数组成的子空间．令P是从f2，1到的正交投影．P可以用积分算子表示为叫)，其中(z，)=∑=一ln(1

6、一叫)是的再生核(见文献[6-7])设G是c内区域，定义'(G)={uJu,OU，褰∈州G)})对u∈LI(G)，lJl1。。=esssupmax{l(z)l，I爱()J，l爨(z)1)．门定义1．1若∈L。o，则算子咒)：P(z)：(uf，)12_：厂dA(叫)DOWOW叫做以_“为符号的Toeplitz算子(见文献『81)．R．Rochberg与z．J．Wu[。】和Wu[，GuangfuCao[]都研究过Dirchlet空间及其上算子理论，发现Dirchlet空间与Bergman空间有很多不同的性质．因此Dirchlet空间上的TOeplitz算子与Hankel算子性质也与Be

7、rgman空间上有较大的不同．为了方便，下文中分别用，巩，K(z，)=1表示Bergman空间(D)上Toeplitz算子，Hankel算子与再生核．2Dirichlet空间上紧Toeplitz算子在给出主要结果前，先介绍一些记号和引理．对∈D，D上MSbius变换定义为简单计算得下面等式叫)一)=1198数学物理学报、b1．29A且==，对∈D，令：(D)一L2(D)为．厂=(．厂。)．易知为酉算子满足=u2=．若S是L2(D)上有界线性算子，令豆：U⋯z3'Uz，