微积分教学资料--习题三（答案）

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1、习题三(A)1、讨论下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的条件，若满足找出结论屮的§：(1)/(x)=x2-2x-3,[-1,3],(2)/(X)=^y,[-l,l]，⑶/(x)=lnsinx,[y,^]66⑷f(兀)=-1,[-1,1]2、讨论下列函数在指定区间上是否满足拉格朗日定理的条件，若满足找出结论中的(1)f(x)=4x3+2x,[0,1],(2)/(x)=ln(x+l[-1^-1],⑶/(x)=丄,[1,2]X⑷/•(%)"-1,[0,1]3、证明下列不等式：(1)(2)Isinx2一sin

2、

3、<

4、x2-x}^-^-h>0)ab(3)sinx+tanx>2x01,w>0)；(12)li

5、m/・、sinxA->0Ix丿(10)limxtO十(13)lim(secx-tanx)2(14)lim(tanx),an2v(15)limx-(cos——1)X->()+兀5、求下列函数的单调区间：2(1)y=2x-3x3(2)y=(x-l)2(x+l)3(3)y=2x3-9x2+12x-3(4)=2x2-lnx6、求下列函数的极值:(1)f(x)=x3-3%(2)/(x)=x-ln(x+l)(3)/(x)=(x-3)2(x-2)(4)f(x)=3%4——24x~+48x+107、求下列函数在给定区间的最

6、值：(1)/(x)=4x2(x2-2),(-2

7、，y轴为对称轴)面积的最小值.11、将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少.12、作下列函数的图形：(1)/(x)二-x4—2x3+1(2)/W=4(兀+1)°:o2JT(3)fM=：(x+l)(x—2)"(4)y=x21+—(B)1、函数f（x）=xa/3^7在［0,3］上满足罗尔定理的§值是（）A.1B.-1C.2D.・22、下列函数在［-1,1］上满足拉格朗日中值定理条件的是（）A・/(X)=-XB./(x)=x小、sin兀

8、C./U)=—D.f(x)=-l0,则下列结论成立的是（）A.兀=0不是/（兀）的驻点B.兀=0是于（兀）的极小值点C.兀=0是/（X）的驻点D.无=0不是/（兀）的极小值点4、下列极限屮，可以使用洛必达法则的是A.COSXlim丁八B.limxt()%-1XT*in%D.lim兰二XT83兀厶=15、函数f（x）=x3-3x的单调区间是（）A.r-1,11B.(-00,1]c.[l,+oo)6、函数/（兀）=兀'+1

9、在点兀=0处（）D.无极值D.减少且凹的A.有极小值0B.有极小值1C.有极大值17、函数y=e-v在定义域内是严格单调（）A.增加且凸的B.增加且凹的C.减少且凸的8、函数f（x）=6x-24x2+x4的曲线的凸的区间是A.(—2,2)B.(―°°,0)C.(09+°°)9、曲线y=xsin丄的渐近线有（）xA.仅有水平渐近线B.即有水平渐近线，又有铅直渐近线C.仅有铅直渐近线D.即无水平渐近线，又无铅直渐近线10、设函数f（x）—阶连续可导，且f（0）=厂（0）=1,则lim/（x）-cosx二（）go

10、In/（兀）A.1B.-lC.0D.oo11、函数f（x）=2x2-x的单调增加区间是（）B.(0,

11、)D.(-,+oo)12、函数f(X)=G長二t在区I'可［l,+oo)上是()A.单调增加的B.有极大值C.单调减少的D.有极小值A.lim(l+—)x-exB.lim(l+-)v=lxtO十XC.lim(l+—尸二°XT8Xjr7r14、方程Zan“0在(-宁亍内有()个实根A.无B.一个C.二个x315