《微积分教学资料》习题12

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1、1.求下列函数的反函数：1+兀【解】从歹=上兰解出X,得兀=匕，对换变量兀』得y=lZ兰1+x1+y1+x1—Y1—X即得y=——的反函数就是口身y=——。1+x1+x2V2VX【解】从汗話解皿，得2,占，即得归喝宀X对换变最兀,y得j=log0-xTX即得)U—的反函数就是自身J=10g21+2—x跑从尸扫瘠解心得皿花壽即得T(曰"侖对换变量x,y得y=——二(l+x)?—X(1+兀尸1_J1+4工即得y=；+］；；；的反函数是y2.下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成的？(l)y=sin3x；【解】以简单变量比替换内层的复

2、朵变量3兀，即作中间变量u=3x,使得替换后的函数成为简单函数y=sinu,于是，函数=sin3x可以看成山简单函数=sinu,u=3x复合而成的。【解】以简单变录u替换内层的复杂变msin2x,即作屮间变Bw=sin2x,使得替换后的函数成为简单函数y=e11；这时，小间变最w=sin2x=(sinx)2仍为复合函数，再以简单变最u替换内层的复杂变量sinx,即作笫二屮间变量v=sin^,使得替换后的两数成为简单函数u=v2,于是，函数),=式心可以看成由简单函数y=w=v2,v=sinx复合而成的。⑶y=ln(ln(lnx))；【

3、解】以简单变量比替换内层的复朵变量ln(lnx),即作中间变量w=ln(lnx),使得替换后的函数成为简单函数y=Inw；这时，中间变®w=ln(lnx)仍为复合函数，再以简单变量u替换内层的复杂变量Inx,即作第二中间变量v=lnx,使得替换后的函数成为简单函数u=lnv,于是，函数y=ln(ln(ln兀))nJ以看成由简单函数y=u,w=Inv,v=Inx合而成的。⑷y=長；【解】以简单变量u替换内层的复杂变量lg依，即作中间变量u=lgJ7,使得替换后的函数成为简单函数y=4u；这时，屮间变量凤=lg仮仍为复合函数，再以简单

4、变量卩替换内层的复杂变量仮，即作笫二屮间变量v=4x,使得替换后的函数成为简单函数u=Igv,于是，函数y=J仪長可以看成山简单函数y=>fufu=gv,v=4x复合而成的。⑸y=(l+ln2x)3；【解】以简单变量“替换内层的复杂变量l+ln2x,即作屮间变量z/=l+ln2x,使得替换后的函数成为简单两数y=/；这时，中间变量w=l+ln2x仍含复合函数，再以简单变量u替换内层的复杂变量Inx,即作第二中间变量v=lnx,使得替换后的函数成为简单函数w=l+v2,于是，函数y=(l+ln2x)3可以看成山简单函数y二H=l+v2

5、,v=x复合而成的。(6)y=Marctancose2x；【解】以简单变量弘替换内层的复杂变量arctancose2x,即作中间变量"=arctancose2x,使得替换后的函数成为简单函数y=^Iu；这时，中间变量u=arctancose2x仍为复合函数，再以简单变量卩替换内层的复杂变量cose2x,即作笫二屮间变量v=cose~x，使得替换后的两数成为简单两数u=arctanv；这时，第二中间变fiy=cos6>2x仍为复合函数，再以简单变屋w替换内层的复杂变量，即作笫三中间变量vv=e2r，使得替换后的函数成为简单函数v=c

6、osvv；这时，第三中间变：«w=e2v仍为复合函数，再以简单变量r替换内层的复杂变量2x,即作第四中间变量/=2■使得替换后的函数成为简单函数w二几于是，函数y=Marctancos戶町以看成由简单函数y=[u,u=arctanv,v=cosw,w=eltr=2x£合而成的。⑺y=log“sin2v+,；【解】以简单变量"替换内层的复杂变量sin2r+,,即作屮间变>z/=sin2A+1,使得替换示的函数成为简单函数y=log^u；这时，屮间变量w=sin2r+1仍为复合函数，再以简单变量y替换内层的复杂变量2V+1,即作第二中间

7、变®v=2v+,,使得替换后的函数成为简单函数w=sinv,这时，笫二中间变量v=2-v+,仍为复合函数，再以简单变量w替换内层的复杂变量兀+1,即作第三屮间变量⑷=x+1，使得替换后的函数成为简单函数v=2“'，于是，函数y=log“sin2'"可以看成由简单函数y=log“u,u=sinv,v=2",w=x+l复合而成的。⑻y=arcsinJig(兀一1)；【解】以简单变量”替换内层的复杂变量JlgCx—1),即作中间变量u=Jlg(x_l),使得替换后的函数成为简单函数y二arcsinu；这时，屮间变量弘=Jlg(x_l)仍为复

8、合函数，再以简单变量u替换内层的复杂变量lg(x-l),即作第二中间变®v=lg(x-l),使得替换后的函数成为简单函数w=这时，第二中间变最v=lg(x-l)仍为复合函数，再以简单变最W替换内层的复杂变量X-1,即作第