2、mf(x)=lim(2-x)=1,而/(l)=x2v=l=1,XT广XT广XTl*•一成立lim/(x)=limf(x)=/(l),XT厂XT1+知/(兀)在x=处连续；由于lim/(x)=lim(2-%)=0,而/(2)=(2—x)I._2=0,成立lim/(x)=/(2),x-»2-x-»2-r~xt2"知/(兀)在x=2处左连续，X20VXV1综上知，函数/（x）=，i-在其定义域[0,2]±连续。其图形如下:2-x,l1【解】函数/(兀)即为/(%)=x,-I
3、1可见其定义域为[一l,l]U(-8,l)kJ(l,+8)=(-8,+x),/(Q在(-1,1)内是有定义的基本初等函数兀，在(-oo,l)和(l,+oo)内分别是有定义的基本初等函数1,分别是连续函数；下面分别分析函数在两个分段点兀=-1和x=l处的连续性：由于lim/(兀)=lim1=1,lim/(x)=limx=-l,XT-厂XT-厂XT—1+XT-广有limf(x)Hlimfx),知/(x)在x=-l处不连续；x-»-rxt-i+由于limf(x)=limx=l,limf(x)=lim1=1,而/(I)=x
4、V=
5、1=1,XT1「XTl*XT1+'成立limf(x)=lim/(x)=/(l),知f{x)在x=l处连续；x->rXS1在其定义域(-oo,+oo)上有一个跳跃间断点X>1综上知，函数Lx=-io其图形如下：1.判断下列函数在兀=0是否连续，[2.1nxsin—,兀工0(D/(x)=”；0,x=0【解】这是对函数进行点连续性的判断：因为函数/(Q在x=0两侧的表达式是相同的，所以就不必要分析单侧极限了,由于limf(x)=limx2sin丄=0(无穷小X有界变量),而/(0)=0,atOxtO兀成立lim/(x)=/(0)
6、,知/(%)在兀=0处连续。XT()兀v0x=0ox>0sinx■,X⑵/(X)二0,—ln(l+兀),【解】这是对函数进行点连续性的判断:因为函数/(兀)在兀=0两侧的表达式是不同的，所以应该分析单侧极限,由于lim/(%)=lim“=1,XT()「XT(厂X1-lim/(x)=lim—ln(l+兀)=limln(l+x)x=Ine=1,xt(t兀to"xxto*可见lim/(兀)=1,xtO但是/(O)=0,有lim/(兀)*(0),xtO可知函数/(x)在x=0处不连续。1.下列函数在指定点均间断，判别这些间断点所属
7、的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的泄义使它连续.⑴尸占亍21'【解】①在间断点无=1处,函数只有一个解析式，故不须分析该点处的左右极限:x2-l由于lim92x-3x4-21)(兀+1)二1曲空=1±1二_2“T1(x-l)(x-2)“—I兀_21-2■?—1—3x+2在兀=1处的极限存在，亦即左右极限都存在,可知x=1是函数y=厂1的第一类间断点,x2-3x+2又因函数"EZI在心处的极限存在’可知左右极限相等,兀-I可知心是函数汗U花的可去间断点。Yzt1，则函数在兀=1连续。%=1x2—1若重新定义函数为y
8、=兀2—3兀+2'_2,②在间断点x=2处，r2_3r+?92_3x?4-?0由于其倒数式的极限.im—==乜"知原函数在x=2处的极限为lim=oo・i22—3兀+2兀一1可知“2是函数尸的第二类间断点，而且属于无穷间断点。x-1,x<1(2)y=<,x=；[3-x,x>i【解】由于在间断点x=l两侧的函数解析式不相同，故应分析单侧极限:limy=lim(x-l)=1-1=0,limy=lim(3-x)=3-1=2,XT厂XT厂XT广XT广fx-1,x<1由于左右极限都存在，知尢=1是函数y=q的第一类间断点,(3—兀
9、，x>1fx-1,x<又因limyHlimy,知x=1是函数y=彳的跳跃间断点。•—I-[3-x,x>i?1(3)y=cos—,x=0；x【解】在间断点无=0处，函数只有一个解析式，故不须分析该点处的左右极限：limcos2-=limcos2-振荡不存在，知兀=0是函数y二cos2-的第二类间断点中兀
