《2.1.2 曲线的参数方程》教学案3

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1、《2.1.2曲线的参数方程》教学案3一）目标点击：1、理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；2、熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；3、能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；4、能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题；二）概念理解：1、例题回放：问题1：已知圆C的方程为，过点P1(1,0)作圆C的任意弦，交圆C于另一点P2,求P1P2的中点M的轨迹方程.设M()，由，消去k,得，因M与P1不重合，所以M点的轨迹方程为（）解法六的

2、关键是没有直接寻求中点M的轨迹方程,而是通过引入第三个变量k（直线的斜率），间接地求出了x与y的关系式，从而求得M点的轨迹方程.实际上方程（1）和（）（2）都表示同一个曲线，都是M点的轨迹方程.这两个方程是曲线方程的两种形式.方程组（1）是曲线的参数方程，变数k是参数，方程（2）是曲线的普通方程.由此可以看出参数方程和普通方程是同一曲线的两种不同的表达形式.我们对参数方程并不陌生，在求轨迹方程的过程中，我们通过设参变量k,先求得曲线的参数方程再化为普通方程，进而求得轨迹方程.参数法是求轨迹方程的一种比较简

3、捷、有效的方法.问题2：几何课本3.1曲线的参数方程一节中，从研究炮弹发射后的运动规律，得出弹道曲线的方程.在这个过程中，选择什么量为参数，其物理意义是什么？参数的取值范围？通过研究炮弹发射后弹道曲线的方程说明：1）形如的方程组，描述了运动轨道上的每一个位置()和时间t的对应关系.2）我们利用“分解与合成”的方法研究和认识了形如的方程组表示质点的运动规律.3)参数t的取值范围是由t的物理意义限制的.2、曲线的参数方程与曲线C的关系在选定的直角坐标系中，曲线的参数方程t（*）与曲线C满足以下条件：（1）对于

4、集合D中的每个t0，通过方程组（*）所确定的点（）都在曲线C上；（2）对于曲线C上任意点（），都至少存在一个t0，满足则曲线C参数方程t3、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系曲线的普通方程＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量与y之间的直接联系；而参数方程t是通过参数t反映坐标变量与y之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.消去参数恰当选择参数

5、参数方程普通方程；普通方程参数方程这时普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.问题3：方程（）；方程（）是参数方程吗？参数方程与含参数的方程一样吗？方程（）表示圆心在原点的圆系，方程（）表示共渐近线的双曲线系。曲线的参数方程（t为参数，t）是表示一条确定的曲线；含参数的方程＝0却表示具有某一共同属性的曲线系，两者是有原则区别的.三）基础知识点拨：例1：已知参数方程[0,2)判断点A(1,)和B(2,1)是否在方程的曲线上.解：把A、B两点坐标分别代入方程得(1)，(2)，在[0,2)内，方程组(1

6、)的解是，而方程组(2)无解，故A点在方程的曲线上，而B点不在方程的曲线上.1、参数方程化普通方程例2：化参数方程（t≥0,t为参数）为普通方程，说明方程的曲线是什么图形.解:由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得(y≥1)即(y≥1)方程的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于x轴，开口向左的抛物线的一部分.点拨：先由一个方程解出t，再代入另一个方程消去参数t,得到普通方程，这种方法是代入消参法.例3：当tR时，参数方程（t为参数），表示的图形是（）A双曲线B椭圆C抛物线D圆解法1：原方程可化为(

7、1)÷(2)得：代入(2)得(y≠-1)答案选B解法2：令tg=Z)则消去，得(y≠-1)点拨：解法1使用了代数消元法，解法2观察方程（1）、（2）的“外形”很像三角函数中的万能公式，使用了三角消参法.当x和y是t的有理整函数时，多用代入或加减消元法消去参数；当x和y是t的有理分式函数时，也可以用代入消参法，但往往需要做些技巧性的处理.至于三角消参法，只在比较巧合的情况下使用.例4：将下列方程化为普通方程：(1)（为参数）(2)（t为参数）解:(1)做＝(cos2+sin2+sin)－(1+sin)＝0＝

8、0，但由于，即0≤≤.∴参数方程只表示抛物线的一部分，即（0≤≤）(2)解方程组得(1)(2)(1)×(2)得＝1从知≥1（提示应用均值定理）所求的普通方程为＝1(≥1)点拨：(1)从方程组的结构看含绝对值，三角函数，通过平方去绝对值，利用三角消参法化为普通方程；(2)观察方程组的结构，先利用消元法，求出，,再消t.方法总结：将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参）(1)代入消参法；(2)代数变换法（＋，－，×，÷，乘方）