实变函数5.330631

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1、第三节Lesbesgue积分与Riemann积分的关系第五章积分论yiyi-1Lesbesgue积分对值域作分划xi-1xiRiemann积分对定义域作分划本节主要内容:若f(x)Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且积分值相等f(x)Riemann可积当且仅当f(x)的不连续点全体为零测度集Riemann可积的充要条件f(x)在[a,b]上Riemann可积Darboux上、下积分对[a,b]作分划序列令（对每个i及n）Darboux上积分Darboux下积分xi-1xi引理：设f(x)在[a,b]上为有界函数，记ω(x)为[a,b]上的

2、振幅函数，则故ω(x)为[a,b]上的可测函数，从而f(x)L可积。证明：由于f(x)在[a,b]上为有界函数，故ω(x)为[a,b]上有界函数，又对任意实数t，为闭集，xi-1xi作函数列对[a,b]作分划序列xi-1xi引理的证明引理的证明xi-1xi引理的证明从而结论成立xi-1xi1.Riemann可积的内在刻画定理：有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集教材p-104有另一种证明证明：若f(x)Riemann可积,则f(x)的Darboux上、下积分相等，上述过程反之也成立。从而f(x)在[a

3、,b]上的不连续点全体为零测度集，引理：设f(x)是E上有限实函数，则f(x)在x0∈E处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0证明参照教材p-1022.Lesbesgue积分与Riemann积分的关系(Lebesgue积分是对Riemann积分的推广)定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且证明：f(x)在[a,b]上Riemann可积，故f(x)在[a,b]上几乎处处连续，从而f(x)在[a,b]上有界可测，并且Lebesgue可积，Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明其次，对[a,b]

4、的任一分划根据Lesbesgue积分的可加性，我们有Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明对上式左、右端关于一切分划各取上、下确界，即得xi-1xi例在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析）Riemann函数Riemann可积处处不连续Dirichlet函数不Riemann可积01注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系例：f(x)有无穷积分,但不Lebesgue可积.注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系例：f(x)有暇积分但不Lebesgue可积1/5¼1/3½1例设f(x)是[a,b]上Lebesgu

5、e可积函数，如果对任意实数c(0≤c≤1)总有那么f(x)=0a.e.于[0,1]教材p122有另一种证明写法：证明中用到了积分的绝对连续性从而有f(x)在F上几乎处处为0所以f(x)=0a.e.于[0,1]证明（续）第四节Lesbesgue积分的几何意义与Fubini定理第五章积分论主讲：胡努春重积分与累次积分重积分累次积分f(x,y)连续1.截口定理xEx证明参照教材p-136分六种情况讨论：区间，开集，型，零集，有界可测集，一般可测集定理1设是可测集，则(1)对Rp中几乎所有的x，Ex是Rq中的可测集m(Ex)作为x的函数，它在Rp上几乎处处有定义，且是可测函数

6、；2.Lebesgue积分的几何意义定理2：设A,B分别是Rp和Rq中的可测集，则A×B是Rp+q中的可测集，且m(A×B)=mA×mB证明参照教材p-139AB2.Lebesgue积分的几何意义证明参照教材p-139则f(x)是E上可测函数当且仅当G(E;f)={(x,y)

7、x∈E，0≤y

8、i定理证明参照教材p-140(2)设f(x)是B上的可测函数，存在（即

9、f(x,y)

10、作为y的函数在B上可积，且作为x的函数在A上可积），则f(p)在A×B可积，且先累次积分后重积分