2016年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

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2015-2016学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（文科）　一.选择题（共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，集合B={x|2x＞1}，则A∩B=（　　）A．（0，2]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）2．设a=log0.32，b=20.3，c=0.30.4，则a、b、c的大小关系是（　　）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a3．直线l过定点（﹣1，2）且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（　　）A．2x+y=0或x+y﹣1=0B．2x﹣y=0或x+y﹣1=0C．2x+y=0或x﹣y+3=0D．x+y﹣1=0或x﹣y+3=04．下列说法错误的是（　　）A．命題“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件C．若命题p：∃x0∈N，2＞1000，则￢p：∀x∈N，2x≤1000D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，丨φ丨＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（2x﹣）D．f（x）=2sin（4x﹣）6．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）A．4+8B．8+4C．4D．2 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2﹣b2=ab，sinA=2sinB，则角C=（　　）A．B．C．D．8．设变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y取得最大值时的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．1或﹣29．已知抛物线y2=﹣4x的焦点到双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（　　）A．B．C．D．10．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（　　）A．多于4个B．4个C．3个D．2个　二.填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分11．已知向量=（2，1），向量=（4，a）（a∈R），若∥，则实数a的值为　　　　　　．12．设函数f（x）=，则f（﹣）=　　　　　　．13．在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n（n∈N*），则数列{an}的通项公式为　　　　　　．14．已知函数y=﹣x3+3x+c的图象与x轴恰有两个不同公共点，则实数c的值为　　　　　　．15．在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，其中O为坐标原点，C为圆上一点，若=+，则r=　　　　　　．　三.解答题本大题共6小题，共75分.16．已知向量=（sinx，cosx），向量=（cosx，﹣cosx），函数f（x）=•+．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，]上的值域． 17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD丄底面ABCD，△PCD为等边三角形，M为BC中点，N为CD中点．若底面ABCD是矩形且AD=2，AB=2．（1）证明：MN∥平面PBD；（2）证明：AM丄平面PMN．18．已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d≠0且a2，a4，a8成等比数列．数列{bn}的前n项和为Sn且Sn=2bn﹣2（n∈N*）（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列cn=+log2bn，求数列{cn}的前n项和Tn．19．第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本为C（x）万元．若年产量不足80台时，C（x）=x2+40x（万元）；若年产量不小于80台时，C（x）=101x+﹣2180（万元）．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？20．已知函数f（x）=（x﹣a）ex（x∈R），函数g（x）=bx﹣lnx，其中a∈R，b＜0．（1）若函数g（x）在点（1，g（l））处的切线与直线x+2y﹣3=0垂直，求b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值；（3）若存在区间M，使得函数f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．21．已知F1、F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且右焦点F2的坐标为（1，0），点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=，求直线l的方程；（3）过椭圆C上异于其顶点的任一点Q，作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，那么+是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 　 2015-2016学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一.选择题（共10题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．设集合A={x|x2﹣2x≥0}，集合B={x|2x＞1}，则A∩B=（　　）A．（0，2]B．[0，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】利用不等式的性质求出集合A和B，再利用交集定义求解A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞）．故选：C．　2．设a=log0.32，b=20.3，c=0.30.4，则a、b、c的大小关系是（　　）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，结合特殊点的函数值，即可得出结论．【解答】解：∵a是对数且底数大于0小于1而真数大于1，∴a=log0.32＜0；又∵b是指数式且底数大于1、指数大于0，∴b=20.3＞1；又∵c是指数式且底数小于1、真数大于0，∴c=0.30.4＜1且c＞0；∴a、b、c的大小关系是a＜c＜b．故选：B．　3．直线l过定点（﹣1，2）且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（　　）A．2x+y=0或x+y﹣1=0B．2x﹣y=0或x+y﹣1=0C．2x+y=0或x﹣y+3=0D．x+y﹣1=0或x﹣y+3=0【考点】直线的截距式方程．【分析】对截距分类讨论，利用截距式及其斜率计算公式即可得出．【解答】解：当直线l经过原点时，可得直线方程为：y=﹣2x，即2x+y=0．当直线l不经过原点时，可设l的直线方程为：x+y=a，把点（﹣1，2）代入可得：﹣1+2=a，可得a=1．综上可得：直线l的方程为：2x+y=0或x+y﹣1=﹣0．故选：A．　4．下列说法错误的是（　　）A．命題“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分不必要条件C．若命题p：∃x0∈N，2＞1000，则￢p：∀x∈N，2x≤1000 D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；对于B，若a＞1且b＞1时，ab＞1成立．若a=﹣2，b=﹣2，满足ab＞1，但a＞1且b＞1不成立，∴“a＞1且b＞1”是“ab＞1”成立的充分不必要条件，正确；对于C，若命题p：∃x0∈N，2＞1000，则￢p：∀x∈N，2x≤1000，正确；对于D，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，不正确．故选：D．　5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，丨φ丨＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（　　）A．f（x）=2sin（x+）B．f（x）=2sin（2x+）C．f（x）=2sin（2x﹣）D．f（x）=2sin（4x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图象经过定点（，0），结合范围丨φ丨＜，求出φ的值，从而求得函数的解析式．【解答】解：由图象可知，A=2，T=﹣，则T=π．又由于ω=，则ω=2，故f（x）=2sin（2x+φ）．由题中图象可知，f（）=2sin（2×+φ）=2，则+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z．又因为|φ|＜，则φ=，所以函数解析式为y=2sin（2x+）．故选：B． 　6．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）A．4+8B．8+4C．4D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱柱，底面为等腰梯形，棱柱的高为．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱柱，棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为．∴V=（1+3）×1×=2．故选D．　7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2﹣b2=ab，sinA=2sinB，则角C=（　　）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得：a=2b，又c2﹣b2=ab，可得：c2=b2+ab，从而利用余弦定理可得：cosC==，结合范围0＜C＜π，即可求C的值．【解答】解：∵sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：a=2b，∵c2﹣b2=ab，可得：c2=b2+ab，∴由余弦定理可得：cosC=====，∵0＜C＜π，∴C=．故选：A．　 8．设变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+y取得最大值时的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．1或﹣2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由目标函数z=ax+y取得最大值时的最优解不唯一，可知当直线y=﹣ax+z与直线x﹣y+1=0或2x+y﹣4=0重合时取得最大值，由此求得实数a的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵目标函数z=ax+y取得最大值时的最优解不唯一，∴直线y=﹣ax+z与直线x﹣y+1=0或2x+y﹣4=0重合．此时﹣a=1或﹣a=﹣2，则a=﹣1或a=2．故选：C．　9．已知抛物线y2=﹣4x的焦点到双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（　　）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，写出双曲线的渐近线方程，利点到直线的距离列出关系式即可求出双曲线的离心率．【解答】解：抛物线y2=﹣4x的焦点（﹣，0），双曲线的渐近线为：y=±x，抛物线y2=﹣4x的焦点到双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为， 可得：=，即9b2=a2，即9c2﹣9a2=a2，解得e=．故选：B．　10．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（　　）A．多于4个B．4个C．3个D．2个【考点】对数函数的图象与性质；函数的周期性．【分析】根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后根据函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案．【解答】解：若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，结合当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象共有4个交点，即函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是4个，故选B　二.填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分11．已知向量=（2，1），向量=（4，a）（a∈R），若∥，则实数a的值为　2　．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用利用共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（2，1），向量=（4，a）（a∈R），若∥，2a=4，解得a=2．故答案为：2．　12．设函数f（x）=，则f（﹣）=　﹣1　．【考点】对数的运算性质；分段函数的应用． 【分析】直接利用分段函数化简求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣）=f（）=log2=﹣1．故答案为：﹣1．　13．在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n（n∈N*），则数列{an}的通项公式为　2n　．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】利用累加法以及等比数列求和求解即可．【解答】解：在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n（n∈N*），a1=2，a2=a1+21a3=a2+22a4=a3+23…an=an﹣1+2n﹣1累加可得：an=2+2+22+23+…+2n﹣1=+2=2n．则数列{an}的通项公式为：2n．故答案为：2n．　14．已知函数y=﹣x3+3x+c的图象与x轴恰有两个不同公共点，则实数c的值为　±2　．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=﹣x3+3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=﹣3x2+3=﹣3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得﹣1＜x＜1；令y′＜0，可得x＞1或x＜﹣1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调减，（﹣1，1）上单调增，∴函数在x=1处取得极大值，在x=﹣1处取得极小值，∵函数y=﹣x3+3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0，∴﹣1+3+c=0或1﹣3+c=0，∴c=﹣2或2．故答案为：±2．　15．在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，其中O为坐标原点，C为圆上一点，若=+，则r=　4　．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得r2=r2+r2+2r2cos∠AOB，从而∠AOB=120°，求出圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离，由此能求出半径r． 【解答】解：∵直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，其中O为坐标原点，C为圆上一点，=+，∴，∴r2=r2+r2+2r2cos∠AOB，解得∠AOB=120°，∵圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==2，∴r=2d=4．故答案为：4．　三.解答题本大题共6小题，共75分.16．已知向量=（sinx，cosx），向量=（cosx，﹣cosx），函数f（x）=•+．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数y=f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，]上的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递减区间．（2）将函数y=f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x+）的图象，由x∈[0，]，可得：2x+∈[，]，利用正弦函数的图象和性质可求sin（2x+）∈[，1]，从而得解．【解答】解：（1）∵f（x）=•+=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递减区间为：[k，k]，k∈Z；…6分（2）将函数y=f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x+）的图象， ∴g（x）=sin（2x+），∵x∈[0，]，可得：2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]．∴函数y=g（x）在区间[0，]上的值域为[，1]…12分　17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD丄底面ABCD，△PCD为等边三角形，M为BC中点，N为CD中点．若底面ABCD是矩形且AD=2，AB=2．（1）证明：MN∥平面PBD；（2）证明：AM丄平面PMN．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由M为BC中点，N为CD中点，可证MN∥BD，即可证明MN∥平面PBD．（2）由△PCD为等边三角形，N为CD中点．可证PN⊥CD，又可证PN⊥平面ABCD，从而可证PN⊥AM，连接AN，由勾股定理分别求得：AM，MN，AN，可证AM2+MN2=AN2，即AM⊥MN，从而可证AM⊥平面PMN．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）∵M为BC中点，N为CD中点．∴MN∥BD，又∵BD⊂平面PBD，MN⊄平面PBD，∴MN∥平面PBD…4分（2）∵△PCD为等边三角形，N为CD中点．∴PN⊥CD，∵侧面PCD丄底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PN⊂平面PCD，∴PN⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴PN⊥AM，…7分连接AN，在Rt△ABM，Rt△MCN，Rt△ADN中，由勾股定理分别求得：AM==，MN==，AN==3，∴AM2+MN2=AN2，∴AM⊥MN，又∵MN∩PN=N，MN⊂平面PMN，PN⊂平面PMN， ∴AM⊥平面PMN…12分　18．已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d≠0且a2，a4，a8成等比数列．数列{bn}的前n项和为Sn且Sn=2bn﹣2（n∈N*）（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列cn=+log2bn，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【分析】（1）由等差数列通项公式和等比数列性质求出公差，由此能求出数列{an}的通项公式数列，由Sn=2bn﹣2（n∈N*），得，由此能求出数列{bn}的通项公式．（2）由cn=+log2bn==，利用裂项求和法和分组求和法能求出数列{cn}的前n项和．【解答】解：（1）∵等差数列{an}的首项a1=1，公差d≠0且a2，a4，a8成等比数列，∴，即（1+3d）2=（1+d）（1+7d），解得d=1或d=0（舍），∴an=1+（n﹣1）=n．∵数列{bn}的前n项和为Sn且Sn=2bn﹣2（n∈N*），∴当n=1时，S1=b1=2b1﹣2，解得b1=2，当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2（bn﹣bn﹣1），整理，得，∴数列{bn}是以b1=2为首项，2为公比的等比数列，∴bn=2•2n﹣1=2n，n∈N*．（2）由（1）得cn=+log2bn==，∴数列{cn}的前n项和：Tn=（1﹣）+（1+2+3+…+n） =1﹣+=．　19．第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本为C（x）万元．若年产量不足80台时，C（x）=x2+40x（万元）；若年产量不小于80台时，C（x）=101x+﹣2180（万元）．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）通过利润=销售收入﹣成本，分0＜x＜80、x≥80两种情况讨论即可；（2）通过（1）配方可知当0＜x＜80时，当x=60时y取得最大值为1300（万元），利用基本不等式可知当x≥80时，当x=90时y取最大值为1500（万元），比较即得结论．【解答】解：（1）当0＜x＜80时，y=100x﹣（x2+40x）﹣500=﹣x2+60x﹣500，当x≥80时，y=100x﹣﹣500=1680﹣（x+），于是y=；（2）由（1）可知当0＜x＜80时，y=﹣（x﹣60）2+1300，此时当x=60时y取得最大值为1300（万元），当x≥80时，y=1680﹣（x+）≤1680﹣2=1500，当且仅当x=即x=90时y取最大值为1500（万元），综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．　20．已知函数f（x）=（x﹣a）ex（x∈R），函数g（x）=bx﹣lnx，其中a∈R，b＜0．（1）若函数g（x）在点（1，g（l））处的切线与直线x+2y﹣3=0垂直，求b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值；（3）若存在区间M，使得函数f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出g（x）的导数，根据g′（1）=b﹣1，求出b的值即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出对应的函数的最小值即可；（3）分布根据函数的单调性求出a的范围．【解答】解：（1）∵g（x）=bx﹣lnx，定义域是（0，+∞），∴g′（x）=b﹣，∴g′（1）=b﹣1，∵g（x）在点（1，g（l））处的切线与直线x+2y﹣3=0垂直，∴g′（1）×（﹣）=﹣1，即（b﹣1）×（﹣）=﹣1，解得：b=3；（2）∵f（x）=（x﹣a）ex，∴f′（x）=（x﹣a+1）ex，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，得f（x）在（﹣∞，a﹣1）递减，在（a﹣1，+∞）递增，a﹣1≤0，即a≤1时，f（x）在（0，1]递增，∴f（x）min=f（0）=﹣a，0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2时，f（x）在[0，a﹣1]递减，在[a﹣1，1]递增，∴f（x）min=f（a﹣1）=﹣ea﹣1，a﹣1≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]递减∴f（x）min=f（1）=（1﹣a）e，∴f（x）=；（3）g′（x）=b﹣，（b＜0，x＞0），∴g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）递减，由（2）得，f（x）在（﹣∞，a﹣1）递减，在（a﹣1，+∞）递增，∴a﹣1＞0，即a＞1时，f（x）和g（x）具有相同的递减区间．即函数f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性时，a∈（1，+∞）．　21．已知F1、F2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且右焦点F2的坐标为（1，0），点P（1，）在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=，求直线l的方程；（3）过椭圆C上异于其顶点的任一点Q，作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，那么+是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）根据椭圆的定义得a，b进而得到椭圆方程；（2）求出直线l与x，y轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及弦长公式，可得k的值；（3）由切线的性质，设点Q（x0，y0），M（x3，y3），N（x4，y4），连接0M，ON，0M⊥MQ，ON⊥NQ，得到直线MN的方程为xx0+yy0=1，求出x0，y0，代入椭圆方程即可得证．【解答】解：（1）椭圆C的右焦点F2的坐标为（1，0），∴椭圆C的左焦点F1的坐标为（﹣1，0），由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，∴2a=+=2，∴a=，a2=2由题意可得c=1，即b2=a2﹣c2=1，即椭圆C的方程为+y2=1；（2）直线l与椭圆C的两个交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），①当直线l垂直x轴时，易得|AB|=，不合题意，②当直线l不垂直x轴时，设直线l：y=k（x﹣1）联立，消y得，（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，①则x1+x2=，x1x2=，∴|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）[（）2﹣4×]==（）2，解得k=±1，∴直线方程l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0（Ⅲ）设点Q（x0，y0），M（x3，y3），N（x4，y4），连接0M，ON，0M⊥MQ，ON⊥NQ，∵M，N不在坐标轴上， ∴kM0=，kN0=﹣，∴直线MQ的方程为y﹣y3=（x﹣x3），即xx3+yy3=1，…①同理直线NQ的方程为xx4+yy4=1，…②，将点Q代入①②，得，显然M（x3，y3），N（x4，y4）满足方程xx0+yy0=1，∴直线MN的方程为xx0+yy0=1，分别令x=0，y=0，得到m=，n=．∴x0=，y0=，∵Q（x0，y0）满足+y2=1；∴+=1，即+=2　 2016年6月24日