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1、计算方法第七章习题复习与思考题1．设fÎC[a,b]，写出三种常用范数及。2．f,gÎC[a,b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{j0,j1,…,jn}ÎC[a,b]在[a,b]上线性无关？3．什么是函数fÎC[a,b]在区[a,b]上的n次最佳一致逼近多项式？4．什么是f在[a,b]上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据的最小二乘曲线拟合？5．什么是[a,b]上带权r(x)的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？6．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？7．用切比雪夫多项式零点做插值得
2、到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？8．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时为什么不直接求解法方程？9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？10．判断下列命题是否正确？（1）任何f(x)ÎC[a,b]都能找到n次多项式Pn(x)ÎHn，使
3、f(x)-Pn(x)
4、£e(e为任给的误差限)。（2）EMBEDEquation.3是f(x)在[a,b]上的最佳一致逼近多项式，则对成立。（3）f(x)ÎC[a,b]在[a,b]上的最佳平方逼近多项式Pn(x)ÎHn则。（4）是
5、首项系数为1的勒让德多项式，Qn(x)ÎHn是任一首项系数为1的多项式，则。（5）是[-1,1]上首项系数为1的切比雪夫多项式。Qn(x)ÎHn是任一首项系数为1的多项式，则（6）当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好。11．证明函数1,x,…,xn线性无关。12．证明
6、
7、f–g
8、
9、≥
10、
11、f
12、
13、-
14、
15、g
16、
17、.13．对f(x),g(x)ÎC1[a,b]，定义（1）；（2）。问它们是否构成内积。14．对权函数r(x)=1+x2，区间[-1,1]，试求首项系数为1的正交多项式jn(x),n=0,1,2,3.15．试证明第二类切
18、比雪夫多项式族{un(x)}是[-1,1]上带权的正交多项式。16．证明对每一个切比雪夫多项式Tn(x)，有。17．用T3(x)的零点做插值点，求f(x)=ex在区间[-1,1]上的二次插值多项式，并估计其最大误差界。18．设，试求f(x)在[0,1]上关于r(x)=1，F=span{1,x}的最佳平方逼近多项式，若取F=span{1,x,x2}，那么最佳平方逼近多项式是什么？19．求f(x)=x3在[-1,1]上关于r(x)=1的最佳平方逼近二次多项式。20．求函数f(x)在指定区间上对于F=span{1,x}的最佳平
19、方逼近多项式；（1）；（2）；（3）；（4）。上机实习题1．求下表数据的1,2,3次最小二乘多项式i012345xi00.150.310.50.60.75yi1.0001.0041.3011.1171.2231.422哪一种拟合曲线的误差最小？2．由实验给出数据表x0.00.10.20.30.50.81.0y1.00.410.500.610.912.022.46试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。3．一种抽样调查表明，某地的鱼的数量与种类的关系
20、如下表xyxyxy13112912601415103014622116113116642121123617702422124013721723134214100232513552213034表中x为鱼的数量，y为鱼的种类，求此问题的线性一次最小二乘解。4．用最小二乘法求一形如y=a+bx2的多项式，使之与下列数据相拟合：xi1925313844yi19.032.349.073.397.85．用最小二乘法求一如R=bWa的经验公式（a,b为待定参数），使之与下列数据相拟合Wi1248163264Ri4.224.023.85
21、3.593.443.022.59若在形如lnR=lnb+alnW的基础上，加上一个二次项e(lnW)2，求形如的最小二乘拟合曲线。6．已知一组实验数据如下xi0.00.91.93.03.95.0yi0.010.030.050.080.0110.0利用构造正交多项式jk(x)的办法求最小二乘二次曲线拟合。7．使用快速傅里叶变换确定函数在上的16次三角插值多项式。8．观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t/s00.91.93.03.95.0距离s/m010305080110求运动方程。9．已知实验数据如下：xi192531
22、3844yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式，并计算均方程误差。10．在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下：时间t/s0510152025303540455055浓度y/(´10-4)01.272.162.863.443.874.154.374.514.5
