导数在研究函数性质中的应用.ppt

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1、§3.3导数在研究函数性质中的应用3.3.1函数的单调性1.单调性的直观描述2.函数单调性判别法定理3.3.1（函数单调性判定定理）证：于是有同理可证(2)证毕.注：（1）若将定理中的闭区间改为其它各种区间，结论仍成立．3.单调性应用(1)证明不等式解：例2.证明时,成立不等式证:(1)令从而因此且证(2)判断方程根的个数证：（①存在性）（②确定性）3.3.2函数的极值1.极值的概念定义3.3.1(或极小值),(或极小值点).函数的极大值和极小值统称为函数的极值.极大值点和极小值点统称为极值点.注:

2、(1)极值点必在定义区间内,是内点,不包括端点.(2)要正确区分极值与最值.2.极值的判别法定理3.3.2(极值的必要条件)证:则定理结论自然成立.注:(1)导数为零的点称为驻点.(2)该定理只是极值存在的必要条件而非充分条件.即:反过来,例如:定理3.3.3(极值第一判别法)排除嫌疑的工具注:(2)该定理可简述为:解：不要用开区间即可3.3.4曲线的凸性与拐点1.曲线的凸性概念定义3.3.2则称该曲线是上凸区间;下凸区间.曲线的上凸和下凸统称为曲线的凸性,上凸区间和下凸区间统称为曲线的凸性区间.2

3、.凸性判别法定理3.3.5上凸的;下凸的.证明3.拐点定义3.3.3在连续曲线上，上凸与下凸的分界点称为曲线的拐点.注:拐点(x0,y0)是曲线上的点,它包括纵、横坐标.定理3.3.6(拐点的充分条件)定理3.3.7(拐点的必要条件)排除嫌疑的工具解：3.3.5渐近线定义3.3.4若曲线上一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线.1.水平渐近线2.垂直渐近线注：解：3.斜渐近线斜渐近线.斜渐近线的求法：同理可由注：可能不同，要分别求出.则曲线无斜渐近线.用图表法

4、讨论函数的单调性，极值，凸性和渐近线step:1.确定函数的定义域,注意无定义性间断点.4.求渐近线.根据列表，写出函数的单调区间,极值,凸性和拐点.5.画图（3）列表故该曲线无水平渐近线.故该曲线有垂直渐近线故该曲线有斜渐近线(5)画出两条渐近线，定出特殊点，据表画出函数图形。（备用）2.凸性判别法定理3.3.5上凸的;下凸的.证:由上凸定义,即证曲线任意一点处的切线都在曲线上方.过此点的切线方程为:要证切线在曲线的上方,切线上的纵坐标大于曲线上的纵坐标,即同理可证（2）.