一类超空间上诱导映射的混沌-论文.pdf

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1、第35卷第4期吉首大学学报(自然科学版)Vo【．35NO．42014年7月JournalofJishouUniversity(NaturalScienceEdition)Ju1．2014文章编号：1007—2985(2014)04—0017—02一类超空间上诱导映射的混沌李核(吉林师范大学数学学院，吉林四平136000)摘要：对底空间与其诱导的超空间映射的Devaney混沌作了探讨．运用拓扑空间的传递性、周期稠密性和弱混合性，解决了底空间映射混沌时由其诱导的超空间映射混沌的问题．关键词：超空间；传递性；Devaney混沌；弱混合中圈分类号：O189．1文献标志码：ADOI：10．3969／j．

2、issn．1007—2985．2014．04．00421世纪初，国内外学者受到生产实践的启示，将超空间系统研究作为科研的主要研究方向之一．其中当数Rom~n-Flores的成果n较为突出，他重点讨论了紧致系统和由该系统诱导的映射的传递性，同时研究了由其诱导的超空间系统的传递性与底空间系统的传递性的内在联系，并且指出有关混沌的基本问题：底空间系统Devaney混沌与其诱导的超空间系统Devaney混沌的关系；超空间系统Devaney混沌与底空间系统Devaney混沌的关系．这类研究可以在物种的研究中作为很好的工具使用．文献E2]证明了底空间与其诱导的超空间的混沌，笔者在此基础上对其混沌性态进行了

3、深入研究．1基本概念文中假设(X，d)为度量空间．用，表示(X，d)上的连续映射，厂表示厂诱导的超空间((X)，H)上的连续映射．为行文简单也称(X，，)为底空间系统，厂为底空间映射，称(K(x)，厂)(由(X，厂)生成的)为超空间系统，厂为超空间映射．定义1称厂为(拓扑)传递的，如果对X的任何非空开集U，V，存在>0，使得，(U)n≠．称轨道在x中稠密的点为，的传递点．定义2若厂×，是拓扑传递的，则称是拓扑弱混合的．定理1[3]设，：X—X连续，则下述论断等价：(1)，弱混合；(2)f弱混合；(3)厂传递．证明详见文献[3]．推论1若厂混合或弱混合，则，传递．引理1厂混合当且仅当，混合．由于

4、，的周期稠密蕴含着，的周期点稠密，因此以下结论成立：推论2若厂混合或弱混合，则，周期稠密蕴涵fDevaney混沌．引理2[2设X为无限点集，若，传递且周期稠密，则它必具有敏感性．引理3设X是紧致度量空间，K(X)为其诱导的超空间，则，存在稠密周期点集当且仅当对X中任意非空开集U，存在紧集KcU以及>0，使得f”(K)一K．*收稿日期：2014一O1—22作者简介：李核(1987一)，女，吉林德惠人，吉林师范大学数学学院硕士研究生，主要从事拓扑动力系统研究．18吉首大学学报(自然科学版)第35卷定理2底空间系统周期稠密蕴含超空间系统也周期稠密．证明设(X，，)周期点稠密．对任何开集UcX，存在P

5、∈U和n>0，使得，()一p．因为点集{P)是紧集，所以由引理3知，(K(X)，，)周期稠密．2主要结论引理4。若，：—J连续，则下述条件等价：(1)厂混合；(2)厂弱混合；(3)7混沌；(4)7传递；(5)7混合；(6>，弱混合．定理3底空间映射厂是Devaney混沌不意味着超空间映射也是Devaney混沌．证明令-厂：J—，为对任何z∈J，定义2z+丢。≤≤丢，3f(z)一—2z1≤≤丢，1一z丢≤≤1．如此定义的区间映射厂是传递的，因此周期稠密，由引理2，进而-厂是Devaney混沌．但据文献[4]的结果，厂不是混合的，从而由引理4知，-厂不是Devaney混沌．引理5下述论断等价：(i

6、)f弱混合；(1i)对任何≥2，f传递；(iil)对X中任何非空开集U，，存在>0，使得f(U)NV≠且f“()NV≠0．定理4对任何m≥2，厂传递，若底空间，为Devaney混沌，则由其诱导的超空间映射-厂也为Devaney混沌．证明设(x，，)为动力系统，对任何≥2，厂传递，则厂弱混合．根据定理1，厂传递．又因为厂为Devaney混沌，所以，为周期点稠密．根据定理2，，周期稠密．又根据推论2，断言此时，为Devaney混沌．推论3当厂周期稠密且弱混合时，-厂混沌．推论4当厂周期稠密且弱混合时，厂是敏感的．参考文献：EliROMAN—FLORES．ANoteonTransitivityinS

7、et—ValuedSystemrJ-1．Chaos，SolitonsandFractals，2003，17：99—104．[2]廖公夫，王立冬，范钦杰．映射迭代与混沌动力系统[M]．北京：科学出版社，2013：104．[3]廖公夫，王立冬，张玉成．一类集值映射的传递性、合性与混沌[J]．中国科学：A辑，2005(35)：1155—1161．[4]BARGEM，MARTINJ．Chaos，Perio