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1、线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．1.一、线性空间的定义若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的积，记作定义１设是一个非空集合，为实数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记作如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域上的向量空间（或线性空间）．2．向量空间中的向量不一定是有序数组．3．判别
2、线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间．说明1．凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算．（１）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．例１实数域上的全体矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作．线性空间的判定方法通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．例４正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．是一个线性空间.例５在区间上全体实连续函数，
3、对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．一般地1．零元素是唯一的．证明假设是线性空间V中的两个零元素，由于所以则对任何，有二、线性空间的性质2．负元素是唯一的．证明假设有两个负元素与，那么则有向量的负元素记为证明4．如果，则或.证明假设那么又同理可证：若则有思考题思考题解答线性空间中向量之间的联系，是通过线性空间到线性空间的映射来实现的．１．映射2.一、线性变换的概念变换的概念是函数概念的推广．2．从线性空间到的线性变换说明３．从线性空间到其自身的线性变换下面主要讨论线性空间中的线性变换．证明设则有例３定义在
4、闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间，在这个空间中变换是一个线性变换.故命题得证.证明则有设例４线性空间中的恒等变换（或称单位变换）：是线性变换．所以恒等变换是线性变换．证明设则有所以零变换是线性变换．例５线性空间中的零变换：是线性变换．证明证毕.例６在中定义变换则不是的一个线性变换．二、线性变换的性质证明从而由于由上述证明知它对中的线线性运算封闭，故它是的子空间．三、小结要证一个变换是线性变换，必须证保持加法和数量乘法，即若证一个变换不是线性变换，只须证不保持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可．思考题思考题
5、解答一、线性变换的矩阵表示式二、线性变换在给定基下的矩阵定义１设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换下的象为其中上式可表示为那末，就称为线性变换在基下的矩阵．结论此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵．平面上线性变换(y=Ax)的几何意义例3已知向量及矩阵请分析经过线性变换后，向量与原向量的几何关系。绘制图形如下图所示：图3线性变换的几何意义例4.设二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四个顶点的数据可写成把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果Ci=AiB。令B=（X1，X2，X
6、3，X4），则AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=（AiX1，AiX2，AiX3，AiX4）用MATLAB程序进行计算，并画出B及C图形：B=[0,1,1,0;0,0,1,1];subplot(2,3,1),fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],'r')A1=[-1,0;0,1],C1=A1Bsubplot(2,3,2),fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],'g')绘制几何图形可得：对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上是两个向量所构成的平行四边形的面积。一个变换所造成的图形的面积
7、变化，取决于该变换矩阵的行列式,A1,A4和A5的行列式绝对值都是1，所以变换后图形的面积不改变。而A2和A3的行列式分别为1.5和0.5，变换后图形的面积的增加或减少倍数等于对应行列式的绝对值。平面上线性变换的几何意义图像变换中的示例在二维的图像变换模型中，最基本的图像变换有平移、旋转、缩放（包括各向同性和各向异性）、反射和错切。由这些基本的图像变换组合，可以得到刚性变换、相似变换、仿射变换、透视变换等复合变换。二阶矩阵特征值的几何意义例5.已知矩阵求它们的特征值和特征向量，并绘制特征向量图，分析其几何意义。解：在MATLA
8、B命令窗口输入：A1=[-1,3;2,5];[V1,D1]=eig(A1)eigshow(A1)A2=[1,-2;-1,5];[V2,D2]=eig(A2)eigshow(A2)A3=[1,2;2,4];[V3,D3]=eig(A3)eigshow(A3)A4=[2,-1;3
