应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 2-1.ppt

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1、模块2导数与微分2·1导数的概念2·2导数的运算2·3高阶导数2·4微分2·1导数的概念案例研究案例2.1自由落体的瞬时速度：设物体在真空中自由下落，则它的运动方程为其中g为常数.试求物体在时刻的瞬时速度v.分析如图，给定时间变量t在处一个增量则在从时刻到这段时间间隔内，物体运动路程的增量为物体在时段内的平均速度：物体在时刻的瞬时速度v：抽象归纳导数的定义设函数在点的左右近旁有定义，当自变量x在点有增量时，函数有相应的增量若当时，之比的极限存在，则称这个极限为函数在点的导数（或变化率），记作即若上述极限存在，这时也称函数在

2、点处可导；若极限不存在，则称函数在点处不可导．问：案例2.1的结论，怎样用导数概念表述？导数的物理意义：变速直线运动的速度是路程在点时刻的导数，即例1求函数在和点的导数.解（1）求在点处的导数（2）求在点处的导数问：函数在区间内的每一点都可导吗？导函数的定义：若函数在区间内每一点都可导，则称函数在区间内可导．这时对任意给定的值都有一个确定的导数值与之对应，因此就构成了x的一个新的函数，称为导函数,记作即导函数简称为导数．讨论：函数的导数与导函数有何区别与联系？例2设求解讨论：求函数在某点的导数时，为什么先求导函数？例3求函

3、数（C为常数）的导数．解即讨论：有人用下面的方法求函数在点处的导数，它错在哪里？解因为是常数，所以例4求函数的导数．解即填空：（1）（2）（3）（4）一般地，对于幂函数有填空：例5求函数的导数．解[1]即类似地，可以求得例6求函数的导数．解即[2]特别地，当时，得用类似的方法，可以求得特别地，当时，得导数的几何意义如图，设曲线c的方程为求曲线c上点处的切线斜率．查看动画资料在曲线c上取与点P邻近的点割线PQ的斜率为当点Q沿曲线c趋向于点P时，割线PQ趋向于极限位置PT.我们把直线PT称为曲线c在点P处的切线．此时，切线的斜

4、率为结论：函数在处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率.（1）切线方程：因此，若函数在点处可导，则曲线在点处切线的方程为若为无穷大，且在点处连续，则曲线在点处切线的方程为讨论：曲线在点有切线，函数点处是否一定可导？（2）法线方程：过点且与切线垂直的直线称为曲线在点处的法线．若则法线的斜率为从而法线方程为例7求抛物线在点处的切线方程和法线方程．解(1)因为所以切线方程为:(2)因为所以法线方程为:函数可导与连续的关系（1）可导连续证：设函数在点x可导，则所以，函数在点x连续．结论：若函数在点x可导，则函数在点x处必连续．令

5、则为无穷小.于是（2）连续可导例它在点处连续但不可导.讨论：上述函数为什么在不可导？结论：连续是可导的必要而非充分条件.小结：1．导数的定义：2．导数的基本公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3．导数的几何意义：导数的物理意义：4．可导与连续的关系：可导连续.