应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 1-1.ppt

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1、模块1预备知识1·1函数1·2函数的极限1·3函数的连续性应用高等数学问题：什么叫函数？案例研究案例1.1Excel中的函数：在Excel窗口中的第A列依次输入10个数，然后在第B列的第一行中输入公式“=3+A1^2”，回车后得到对应的B1值.向下拖动B1框右下角的黑点，依次可得B2、B3、…、B10对应的值.1·1函数分析：如果用x表示集合A中的任意一个数，y表示集合B中对应的数，那么根据法则“=3+A1^2”知，x与y之间存在关系我们把x与y的这种关系称为函数关系.抽象归纳函数的概念函数的定义：设x、y是两个变量，D是一

2、个数集.若对于D内的每一个数x，按照某个对应法则f，变量y都有惟一确定的数值和它对应，则称对应法则f为定义在数集D上的函数，通常简记作.其中x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域.函数值和值域：当x取数值时，与相对应的y值称为函数在点处的函数值，记作函数所有函数值的集合称为函数的值域.若函数在区间I上的每一点都有定义，则称函数在区间I上有定义.函数的对应法则函数中表示对应法则的记号是f，函数中表示对应法则的记号是g.当同时考察几个不同的函数时，就需要用不同的函数记号以示区别.例1设求解因为所以函数的定义域在实

3、际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的.案例1.1中，函数的定义域：在数学上作一般性研究时，对于只给出表达式而没有说明实际背景的函数，我们约定：函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量的取值范围.例2求下列函数的定义域：解（1）函数的定义域为（2）函数的定义域为函数的表示法函数常用的表示法有三种，即表格法、图像法和公式法（或解析法）.例3某城市2006年12份15日-22日每天的最高气温如下表（单位：℃）：日期（t）气温（H）1516171819202122232414121010121615141718例4经济

4、学家感兴趣的是制造和出售的某一产品的数量q如何依赖于其价格p，即认为数量与价格之间存在函数关系.产品的需求量q是价格p的函数，称为需求函数，其图像称为需求曲线；产品的供给量q是价格p的函数，称为供给函数，其图像称为供给曲线.试判断图中的曲线，对于一般商品来说，哪一条为需求曲线，哪一条为供给曲线？并说明理由.解图（1）中的曲线为供给曲线，图（2）中的曲线为需求曲线.例5求下列函数的定义域、值域，并作出其图像：（1）（2）解（1）（2）分段函数：在定义域内的不同区间上用不同的解析式表达，这样的函数通常称为分段函数.例：注意分段函

5、数是定义域上的一个函数，不要理解为多个函数.分段函数要分段求值，分段作图.函数的几种特性单调性：若对于区间I上任意两点当时，都有则称函数在区间I上是单调增加的，区间I称为单调增区间；若对于区间I上任意两点当时，都有则称函数在区间I上是单调减少的，区间I称为单调减区间.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，单调增加区间和单调减区间统称为单调区间.奇偶性：设函数的定义域D关于原点对称.若对于任一都有成立，则称为奇函数.若对于任一都有成立，则称为偶函数.有界性：若存在正数M，使得对任一都有则称函数在区间I内有界.若这样的正数M不

6、存在，就称函数在区间I内无界.周期性：若存在一个不为零的数l，使得对任一有且恒成立，则称为周期函数，l称为的周期.通常，周期函数的周期是指最小正周期.反函数引例：在商品销售中，已知某种商品的价格为p（p>0），销售量为x，销售收入为y.当已知销售量x时，根据关系式可求得销售收入y，这里y是x的函数；反之，若已知销售收入y，求对应的销售量x时，根据可解得关系式则给定y值，可求得对应的x值.这时y是自变量，x是因变量，x是y的函数.我们称为的反函数.反函数的定义设函数的定义域为D，值域为M.若对于M中的每一个y值()，都可以从关

7、系式确定惟一的x值与之对应，则确定了一个以y为自变量的函数我们把这个函数称为的反函数，常记作这个函数的定义域为M，值域为D.函数的图像与其反函数的图像关于直线对称.复合函数引例：当运输石油的船只在海洋中发生泻漏事故时，石油污染海水的面积A是被污染圆形水面的半径r的函数，即而半径r又是时间t的函数，即因此，面积A与时间t的关系是定义：设若的定义域与的值域的交集非空，则由确定的函数称为x的复合函数，而u称为中间变量.例6写出下列各组函数的复合函数：（1）（2）解（1）（2）注意（1）函数和复合成函数后，其定义域不一定是的自然定义

8、域.例如，是由函数复合而成的，其定义域为它是函数的定义域的非空子集.（2）复合顺序不同，所得的复合函数是不同的.例7指出函数的复合过程：（1）（2）解（1）（2）基本初等函数问题：以前我们学习过哪些函数？常数函数幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数定义：以上六类函数统称为基本初等函数.