应用高等数学电子教案 教学课件 ppt 作者 曾庆柏 8-2.ppt

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1、8·2常数项级数收敛性判别法案例研究案例8.2正整数平方倒数和：研究下面的级数（1）该级数是否收敛？（2）该级数如果收敛，那么它收敛到多少？分析我们来求它的n项部分和，依次为……因为该级数每一项均是非负的，所以部分和数列是单调增加的.抽象归纳正项级数的审敛法若常数项级数的每一项都是非负的，即un0(n=1，2，3，…)，则称级数为正项级数.设正项级数的部分和为则部分和构成的数列是一个单调增加的数列，即定理正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界.比较审敛法设两个正项级数和且(n=1,2,…).（1）若级数收敛，则级数收敛；（2）若级数发散，则级数发散.证设当时，则有（1）当级数

2、收敛时，数列有界，从而数列有界，所以级数收敛.（2）当级数发散时，数列无界，从而数列无界，所以级数发散.例1级数称为p—级数.试讨论它的收敛性.解当时，因为而级数发散，所以级数发散.当时，小矩形的面积比同底的曲边梯形的面积小，所以有即级数的部分和数列有界，所以收敛.综上，当p1时，级数收敛，当时，级数发散.案例8.2(1)的解因为是级数，且所以该级数收敛.例2判定下列级数的收敛性：（1）（2）解（1）因为而等比级数收敛，所以根据比较审敛法，级数收敛.（2）因为n(n+1)<(n+1)2，所以而级数是调和级数去掉第一项1所成的级数，因此它是发散的，所以根据比较审敛法，级数发散.比值

3、审敛法对于一个正项级数若则当ρ<1时，级数收敛；当ρ>1（或）时，级数发散；当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散.例3判定下列级数的收敛性（1）（2）解（1）因为所以级数收敛.（2）因为所以级数发散.交错级数的审敛法一个级数若具有以下形式或具有以下形式则称为交错级数，其中例下面的级数就是一个交错级数交错级数审敛法若交错级数满足条件：(1)(2)则交错级数收敛.例4判别交错级数的收敛性.解因为所以有且所以由交错级数的审敛法知，级数收敛.绝对收敛与条件收敛定义若级数中各项可以是正数、负数或零，则级数称为任意项级数.定义若级数收敛，则称级数绝对收敛.例任意项级数各项取绝对值所得的级数为它是

4、收敛的，所以原级数绝对收敛.问：如果一个任意项级数绝对收敛，那么该级数是否一定收敛呢？定理若级数绝对收敛，则级数必收敛.证令于是，有因为均为正项级数，且收敛，所以由比较审敛法知，级数和收敛.又因为所以由收敛级数的性质2知，级数收敛.例5证明级数收敛.解因为而级数是p=4的p－级数，它是收敛的，所以由比较审敛法知，级数收敛.所以，级数是绝对收敛的.从而级数收敛.问：收敛级数是否一定绝对收敛？试举例说明.例是收敛的，但是它的各项取绝对值所成的级数却是发散的.若任意项级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛.例交错级数是条件收敛的.小结：1．正项级数：（1）定义；（2）审敛法：充要条件、比

5、较审敛法、比值审敛法；2．交错级数：（1）定义；（2）审敛法；3．任意项级数：（1）绝对收敛与条件收敛；（2）绝对收敛定理