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《高中数学 2.1.1《平面向量的实际背景及基本概念》课件 新人教A版必修4.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、新课标人教版课件系列《高中数学》必修42.1.1《平面向量的物理背景及其含义》教学目标了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.平面向量的数量积2.4.1平面
2、向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角定义:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度和方向规定如下:(1)
3、λa
4、=
5、λ
6、
7、a
8、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同;当λ<0时,λa的方向与a方向相反;特别地,当λ=0或a=0时,λa=0运算律:设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ=0°时,
9、a与b同向;OAB当θ=180°时,a与b反向;OABB当θ=90°时,称a与b垂直,记为a⊥b.OAab我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)θFS力F所做的功W可用下式计算W=
10、F
11、
12、S
13、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量
14、a
15、
16、b
17、cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·ba·b=
18、a
19、
20、b
21、cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0。
22、a
23、cosθ(
24、b
25、cosθ)叫做向量a在b方向上(向量b在a方向上)的投影。注意:向量
26、的数量积是一个数量。向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?思考:a·b=
27、a
28、
29、b
30、cosθ当0°≤θ<90°时a·b为正;当90°<θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。设是非零向量,方向相同的单位向量,的夹角,则特别地OABθabB1解:a·b=
31、a
32、
33、b
34、cosθ=5×4×cos120°=5×4×(-1/2)=-10例1已知
35、a
36、=5,
37、b
38、=4,a与b的夹角θ=120°,求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解:
39、a
40、=√2,
41、b
42、=2,θ=45°∴a·b=
43、a
44、
45、b
46、cosθ=√2×2
47、×cos45°=2a·b的几何意义:OABθ
48、b
49、cosθabB1等于的长度与的乘积。练习:1.若a=0,则对任一向量b,有a·b=0.2.若a≠0,则对任一非零向量b,有a·b≠0.3.若a≠0,a·b=0,则b=04.若a·b=0,则a·b中至少有一个为0.5.若a≠0,a·b=b·c,则a=c6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立.7.对任意向量a有√×××××√平面向量的数量积的运算律:数量积的运算律:其中,是任意三个向量,注:则(a+b)·c=ON
50、c
51、=(OM+MN)
52、c
53、=OM
54、c
55、+MN
56、c
57、=a·c+b·c.ONMa+
58、bbac向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)例3:求证:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.证明:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=(a+b)·a+(a+b)·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.例3:求证:(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.证明:(2)(a+b)·(a-b)=(a+b)·a-(a+b)·b=a·a+b·a-a·b-b·b=a2-b2.例4、的夹角为解:作业:3、用向
59、量方法证明:直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示,已知⊙O,AB为直径,C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析:要证∠ACB=90°,只须证向量,即。解:设则,由此可得:即,∠ACB=90°再见