线性系统的运动分析(第四讲)

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1、2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案第二章：线性系统的运动分析(第四讲)内容介绍：状态方程的解、离散系统的状态方程的解、离散化方法状态方程及其解一般P个输入，m个输出的线性定常系统=Ax+Buy=Cx(D=0时，称为严格的定常系统)其中An×n、Bn×p、Cm×n阵,阵中各元素均为常数。对此一般系统的分析，本质上为对状态空间表达式的分析。如果已知x(t)、y(t)，则系统运动一目了然。问题归结为：求解方程=Ax+Bu。事实上，求解=Ax+Bu完全可利用现成程序。（但作为专业课了解并掌握状态方程解的求法十分重要，一并介绍常用术语。）一、齐次方程的解（输入u=

2、0时）=Ax当初值为x(t)

3、t=0=x0其解为x(t)=---A为n×n阵，为特定的矩阵函数事实上，可设其解为则代入方程有：比较有：且t0=0时x(0)=b02011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案（因为输入u=0为零输入响应）引入记号则视为将x(0)转移到x(t)的变换称其为状态转移阵。可见：系统的状态可由状态转移阵决定。同理：设t0为初值则其中解释为：随时间推移，状态x不断变化，其变化规律由决定。的作用十分重要。1、矩阵函数的性质1.矩阵对有限时间t收敛，且绝对收敛。2.t=0时为单位矩阵3.对的t的微分（求导）2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》

4、教案4.5.6.在4中令s=－t说明可逆(为非奇异阵)同样与互逆2、状态转移阵的性质1、2、3、合并作用意味着从t0到t2转移4、5、的作用意味时间的逆转，即从目前状态推知历史状态。以上有关状态转移阵的性质对一般系统（含非线性）均成立。2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案二、非齐次方程的解(具外作用u时)=Ax+Bux(0)=x0变换方程-Ax=Bu左乘e-At有从0~t积分:引入有：响应=零输入响应+零初值响应（状态）若设初值x(t0)可见，非齐次方程的解也取决于状态转移阵。下面问题归结为求=？2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案三、用L氏变换

5、法求线性定常系统的=Ax+Bu设有：sx(s)－x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI－A)x(s)=x(0)+Bu(s)x(s)=(sI－A)–1x(0)+(sI－A)–1Bu(s)取反L氏变换：x(t)=L–1[(sI－A)–1x(0)+(sI－A)–1Bu(s)]=L–1[(sI－A)–1]x(0)+L–1[(sI－A)–1Bu(s)]=x(0)+有：=L–1[(sI－A)–1]到目前为止有了求几种解的方法1、定义求法2、=L–1[(sI－A)–1]3、其它方法可见，若已知状态转移阵,再在求输出是容易的。ex:r=sint且求:y=?解：①列写状态方程取:且令

6、u=2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案则:初值矩阵形式：令x=②求解方程（求）用定义法求---或用其中adj(sI-A)是伴随阵，亦第i行,第j列元素为划去SI-A阵中第j行,第i列之后形成行列式加上符号（-1）i+j,其元素是（SI-A）的代数余子式。2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案四、离散系统的解线性定常系统（离散）的解法x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)初值x(0),输入u已知,为一阶差分方程组。解法有二：1、迭代法；2、z变换法。1、迭代法：2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案x(k+1)

7、=Gx(k)+Hu(k)其中，x(0)已知，u(0),u(1)已知y(k)=Cx(k)+Du(k)令：k=0时解出x(1)=Gx(0)+Hu(0)x(2)=Gx(1)+Hu(1)=x(0)+GHu(0)+Hu(1)x(k)=x(0)+Hu(j)称x(k)为一般解，类似于连续时间系统。为状态转移阵，记为Ф(k)。则：x(k)=Ф(k)x(0)+Ф(k－j－1)零输入响应零状态响应代入方程y(k)=CФ(k)x(0)+CФ(k―j―1)+Du(k)注：只要有了Ф(k)则可求x(k)、y(k)。2、z变换法：x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)可见：如何建立A、B、C、D

8、与G、H、C、D的关系？2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案五、连续时间系统的离散化设=Ax+Buy=Cx+Du其解：令：t=(k+1)T（T为采样周期）代入上式有：再令：t=kT--------------（*）左乘Ф为：用（*）－（#）且设内B、u为常数。则x=Фx(kT)+ФBu=G(k)x(kT)+H(k)u记为：=G(k),并：y(kT)=C(k)x(k)+D(k)u(k)可见：G(k)===2011级自动化硕士研究生《线性系统理论》教案H(k)==方程为：(k+1)=Gx(k)+.Bu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)ex:二阶系统=0