不等式恒成立问题

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1、不等式恒成立问题　　【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2013）05-0135-01　　确定不等式恒成立时参数的取值范围，是学生不易解决的难点问题。不等式恒成立问题是高考及各类考试的命题热点，因此也就成为我们数学教学的重点和难点。解答这类问题主要有四种方法：其一，利用一次函数的单调性；其二，利用二次函数的单调性；其三，分离参数，转化为求函数的最值；其四，利用数形结合法。　　方法一：利用一次函数的单调性　　设一次函数f（x）=ax+b（a≠0），当a>0时f（x）在R上是增函数；当a<0时f（x）在R上是减函数。所

2、以关于不等式恒成立问题，若能将不等式化为关于主元（或参数）的一次函数，则可用一次函数的单调性求解。　　具体情况为：当x∈[m，n]时，　　f（x）>0恒成立？圳a>0f（x）min=f（m）>0或a0；　　f（x）0f（x）max=f（n）<0或a<0f（x）max=f（m）<0；　　或x∈[m，n]时，f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0；　　x∈[m，n]时，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0；　　例.对于任意的

3、m

4、≤2，函数f（x）=mx2-2x+1-m恒为负值，求x的取值范围。　　解法一：对任意的

5、m

6、≤2，函数f（x）

7、=mx2-2x+1-m恒成立，等价于关于m的一次不等式（x2-1）m-2x+1<0在

8、m

9、≤2上恒成立。　　设g（m）=（x2-1）m-2x+1，则有　　x2-1>0g（2）<0，或x2-1<0g（-2）<0，或x2-1=0g（m）=-2x+1<0，　　即x2-1>02（x2-1）-2x+1<0，或x2-1<0-2（x2-1）-2x+1<0，或x2-1=0-2x+1<0。　　解得1

10、m

11、≤2，函数f（x）=mx2-2x+1-m<0恒成立，（x2-1）m-2x+1<0

12、在

13、m

14、≤2上恒成立。　　设g（m）=（x2-1）m-2x+1，则有g（-2）<0g（2）<0，　　即-2（x2-1）-2x+102x2-2x+1<0，　　解得■0），其图象是开口向上的抛物线，在区间[-■，+∞]上f（x）是增函数，在区间[-∞，-■]上是减函数。所以：f（x）>0在R上恒成立？圳a>0△<0；　　f（x）>0在区间[m，n

15、]上恒成立？圳-■>nf（n）>0或-■0或△<0。　　例1.设f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，都有f（x）≥a成立，求实数a的取值范围。　　解：设g（x）=f（x）-a=x2-2ax+2-a　　则问题转化为：当x∈[-1，+∞）时g（x）≥0恒成立，　　∴有△≤0或-■≤-1g（-1）≥0，　　即4a2-4（2-a）≤0或a≤-11+2a+2-a≥0，　　解得-2≤a≤1或-3≤a≤-1。　　∴-3≤a≤1即为所求a的取值范围。　　例2.若对于任意x∈（0，1），恒有2x2+（a+1）x-a（a-1）<0，求a的取值范围。　　解：

16、令f（x）=2x2+（a+1）x-a（a-1）<0，∵对任意x∈（0，1），恒有f（x）<0，∴有f（0）≤0f（1）≤1，即-a（a-1）≤02+（a+1）-a（a-1）≤0，解得a≤-1或a≥3即为所求。　　方法三：分离参数，将不等式恒成立转化为求函数的最值　　关于x的不等式f（x，λ）≥0在区间D上恒成立，变形并分离出参数λ得F（λ）≥G（x）或F（λ）≤G（x）在区间D上恒成立，则有关系式F（λ）≥G（x）max，或F（λ）≤G（x）min，从中可求出参数λ的取值范围。　　例1.求■+■≤a■（x>0，y>0）恒成立的a的最小值。　　解：由■+

17、■≤a■（x>0，y>0）恒成立，得a≥■恒成立。∴只需a≥（■）max。　　∵■=■=■　　=■≤■　　=■=■，　　∴（■）max=■.∴a≥■.∴a的最小值是■。　　例2.设f（x）=lg■，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2，如果f（x）当x∈（-∞，1]时恒有意义，求a的取值范围。　　解：f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2x+3x+…+（n-1）x+nxa>0在x∈（-∞，1]上恒成立，即a>-[（■）x+（■）x+（■）x+…+（■）x]在（-∞，1]上恒成立。　　∵函数y=-（■）x（k=1，2，3，…，n-1）在（

18、-∞，1]都是增函数，　　g（x）=-[（■）x+（■）x+（■）x+…+（■）x]在（-∞，