解析不等式恒成立问题

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1、Http://www.fhedu.c解析不等式恒成立问题马继武纵观近年来各地高考数学试题，有关不等式恒成立问题屡见不鲜，这类问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点.考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的值或取值范围.解决这类问题的关键是转化，通过等价转化能使问题起到“柳暗花明”的功效.而等价转化过程往往渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，其常用方法主要有：更换主元法、分离参数法、数形结

2、合法、最值法等，笔者试图通过本文能对学生突破这一难点有所启迪.一、更换主元法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.例1.设不等式对满足的一切实数恒成立，求的取值范围.解：设则不等式对满足的一切实数恒成立对恒成立.当时，即解得故的取值范围是.注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，此种解法因计算繁琐易出错；

3、若变换一个角度，以为变量，使4网站地址：南京市湖南路1号B座808室　　联系电话：025-83657815Mail：admin@fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.c则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负时，参数应满足的条件——“换位”思考优势明显.二、分离参数法当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来，且分离后不等式另一边的函数（或代数式）的最值可求时，常用分离参数法.例2.已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.（Ⅰ）求的值与的范围；（Ⅱ）若对（Ⅰ）中

4、的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.（Ⅲ）若，试讨论关于的方程的根的个数.解：（Ⅰ）、（Ⅲ）略（Ⅱ）由题意知，函数在区间上是减函数.在上恒成立注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.三、数形结合法4网站地址：南京市湖南路1号B座808室　　联系电话：025-83657815Mail：admin@fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.c如果不等式中涉及

5、的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例3.已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式，在时恒成立，求的取值范围.此不等式为超越不等式，求解时一般

6、使用数形结合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解.四、最值法当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.例4.已知函数（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.4网站地址：南京市湖南路1号B座808室　　联系电话：025-83657815Mail：admin@fhedu.cn　　　Http://www.fhedu.c解：（Ⅰ）略（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，，亦即，所以.令，则，由得.且当时，

7、；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题.不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用的，但因为问题形式千

8、变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.4网站地址：南京市湖南路1号B座808室　　联系电话：025