不等式恒成立问题

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1、九招破解不等式恒成立问题绵阳东辰国际学校冷世平不等式恒成立问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用构造函数法、变量分离法、数形结合法等解题方法求解.解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了重要的作用，因此也成为历年各地高考的一个热点内容.解决恒成立问题主要有以下几种方法，供各位同行参考.一、反客为主法此方法又称为改变主元法.有一些数学题，题中涉及到若干个量，其中有常量，也有变量，学

2、生在解答时，由于思维定势，不太习惯把其中的常量暂视为变量，把其中的变量暂视为常量的做法，结果导致求解过程异常复杂甚至难以解出.其实，常量与变量是相对的，是辩证统一的关系，根据需要可以将它们的地位调换，即“反客为主”，改变主元，常常使许多难题巧妙获解.例1对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围.【分析】在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于恒成立的问题.【解析】不等式即,设,则在上恒大于

3、，故有，即，从而解得或.【点评】在不等式中出现了两个字母：及,而我们都习惯把看成是一个变量，作为常数.本题转换视角，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于恒成立的问题.此类题本质上是利用了一次函数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两端点均在轴上方（或下方）即可.【总结】给定一次函数,若在内恒有，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于⑴或⑵，亦可合并成；同理，若在内恒有，则有.二、单调性法利用函数单调性解题是历年高考的重点和难点.如何攻克这个难点呢?一个词：去壳.利用

4、函数单调性解不等式的关键就是：准确判断出函数单调性，成功去掉这层外壳，把关于因变量之间的不等关系转化为关于自变量之间的不等关系,然后解关于的简单不等式即可.例2定义在上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数的取值范围.【解析】由得到，因为为奇函数，故有恒成立，又因为为减函数，从而有对恒成立，设，则对于恒成立，再设函数,对称轴为.第6页共6页①当时，函数在上单调递增，，即，又；②当，即时,，即,又；③当时，函数在上单调递增，恒成立，.综上所述，实数的取值范围为.【点评】此题属于含参数二

5、次函数的轴动区间定的问题，对轴与区间的位置进行分类讨论.对于二次函数在上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题.三、变量分离法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.例3已知函数，若对任意恒成立，试求实数的取值范围.【分析】此题可经过等价转化为在区间上恒成立，再将转化后的第6页共6页不等式分离参数得恒成立

6、，再求得得最大值，由可得实数的取值范围.【解析】在区间上，恒成立在区间上恒成立，要使恒成立，只需恒成立，由二次函数的性质可得，故只需，故所示实数的取值范围为.例1已知二次函数，若时，总有，试求实数的取值范围.【解析】①当时，有恒成立；①当时，，即，分离参数可得，令，，即当时恒有当时，，即，又因为，故实数的取值范围为.【点评】将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围.若所求变量为，则根据恒成立；恒成立.此题一般性解法是利用根的分布对进行讨论，其解题过程复杂性显

7、而易见，而将参数从恒成立不等式中分离出来，可以避免较为复杂的讨论.例2已知当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【分析】在不等式中含有两个变量及，其中的范围已知，另一变量的范围即为所求，故可考虑将及分离.【解析】原不等式等价于，要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最值问题.，即，上式等价于或，解得.【点评】注意到题目中出现了及，而,故若把换元成,则可把原不等式转化成关于的二次函数类型.【总结】含参数不等式分离后的形式因题、因分法而异，因此解决含参数不等式恒成立的问题需把握住以下一般

8、性结论：①恒成立；②恒成立；③恒成立；④恒成立.四、数形结合法某些含参不等式恒成立问题，我们在解题过程中，可以把不等式进行合理的变形后，将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式，以达到求解的目的.例3设，若不等式恒成立，求的取值范围.第6页共6页【解析】设，则，它表示的是以为圆心，为半径的上半圆（如图所示），设，它的几何意义是一条经过原点，斜率为的直线，将两者图像画在同一坐标系下，