两条直线的位置关系教案

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1、两条直线的位置关系(小结课2课时)●考试目标主词填空1.两直线平行的充要条件.已知两直线分别为:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2,则l1∥l2k1=k2且b1≠b2.2.两直线垂直的充要条件.已知两直线分别为:l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2k1·k2=-1.3.两条直线的夹角.设直线l1的斜率为k1,l2的斜率为k2,l1到l2的角为α,l1与l2的夹角为β,则tan,tan.4.点到直线的距离.点P0(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.5.两平行线间的距离.两平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2

2、)之间的距离d=6.对称问题.(1)P(x,y)关于Q(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).(2)P(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是.●题型示例点津归纳【例1】已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2:(1)相交;(2)平行;(3)重合.【解前点津】对直线的斜率存在与否,进行讨论,转化为“斜截式”后,才能使用“充要条件”.【规范解答】当m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0l1∥l2,当m≠0时,则化为斜截式方程:l1:y=-x-,l2:y=,①当-≠即m≠-1,m≠3时,l1与l2相交.②当,即m=-

3、1时l1∥l2.③当,即m=3时,l1与l2重合.综上所述知:①当m≠-1,m≠3且m≠0时,l1与l2相交,②当m=-1或m=0时,l1∥l2,③当m=3时,l1与l2重合.【解后归纳】判断两直线的位置关系,关键是化直线方程为“斜截式”,若y的系数含有参数,则必须分类讨论.【例2】求经过点P(2,3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为的直线方程.【解前点津】画图可知,所求直线有两条,选择应用夹角公式,可“避免讨论”.【规范解答】

4、AC

5、==2,∵

6、AB

7、=在Rt△ABC中,求出

8、BC

9、=1,则tan∠ABC=2.设所求直线斜率为k,则=2解之:k=

10、或.∴x-2y+4=0,11x-2y-16=0为所求.【解后归纳】本题利用了图形的性质,重视利用数形结合的方法,从而发现解题思路.【例3】一条光线经过点P(2,3),射在直线l:x+y+1=0上,反射后穿过点Q(1,1).(1)求光线的入射线方程;(2)求这条光线从P到Q的长度.【解前点津】先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标,从而可确定过Q,Q′的直线方程.【规范解答】(1)设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点,且QQ′交l于M点,∵k1=-1,∴kQQ′=1,∴QQ′所在直线方程为x-y=0.由得M坐标为,又∵M为QQ′中点,故由Q′(-2,-2).设入射线与l交点为

11、N,且P,N,Q′共线,得入射线方程为:,即5x-4y+2=0.(2)∵l是QQ′的垂直平分线,因而:

12、NQ

13、=

14、NQ′

15、,∴

16、PN

17、+

18、NQ

19、=

20、PN

21、+

22、NQ′

23、=

24、PQ′

25、=,即这条光线从P到Q的长度是.【解后归纳】无论是求曲线关于直线的对称方程,还是解答涉及对称性的问题,关键在于掌握点关于直线的对称点的求法.【例4】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值;(2)求l3到l1的角θ;(3)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离

26、是P点l2的距离的;③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是∶;若能,求P点坐标;若不能,说明理由.【解前点津】求解本题用到三个公式:平行线间的距离公式,直线到直线的“到角”公式,点到直线的距离公式.【规范解答】(1)由l2:2x-y-=0,∴l1与l2的距离d=,化简得:,∵a>0,∴a=3.(2)由(1),l1:2x-y+3=0k1=2,而k3=-1,∴tanθ==-3,∵0≤θ≤π,∴θ=π-arctan3.(3)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1,l2平行的直线L:2x-y+c=0上,且,即c=或c=.∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.若P点满足

27、条件③,由点到直线的距离公式,有:,即:

28、2x0-y0+3

29、=

30、x0+y0-1

31、,∴x0-2y0+4=0,或3x0+2=0,由P在第一象限,∴3x0+2=0不可能,由方程组:,舍去,由∴P即为同时满足三个条件的点.【解后归纳】(3)属于“存在性问题”的解答,往往从“假设存在入手”,推出某种结论(肯定的或否定的),然后检验这种结论是否满足题设中的各条件.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.点

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