韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用

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1、韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用【注意】应用韦达定理的前提是：二次项系数不为零，判别式大于（或等于）零．一、弦长问题【韦达特征】例1顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线截直线所得弦长为，则抛物线方程为．二、弦的中点问题【韦达特征】例2已知直线与椭圆交于、两点，且线段的中点为，则直线的方程是．三、垂直问题【韦达特征】（1）若，则：（2）若，则：例3若直线：与双曲线交于、两点,且以为直径的圆过原点，求的值.（）例4已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，

2、两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．例5设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．例6设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．一、对称问题（即垂直平分问题）【韦达特征】实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）．例7如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点

3、F，且与抛物线交于A、B两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：为定值，并求此定值．8二、线段相等【韦达特征】若，中点为，则：且．实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）．例8已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，且右焦点到直线的距离为，试问能否找到一条斜率为的直线，使与已知椭圆交于不同两点、且满足．三、数量积问题【韦达特征】（同问题三——垂直问题）例9设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标；（Ⅱ）设过定点的直

4、线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．例10已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于、两点．（Ⅰ）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（Ⅱ）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．一、面积问题例11直线与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．（Ⅰ）求在，的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当，时，求直线AB的方程．例12已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B

5、两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．例13设是抛物线：的焦点．（Ⅰ）过点作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足，延长AF、BF分别交抛物线G于点、，求四边形ABCD面积的最小值．例14已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值．二、有关比例问题例15已知点，直线：，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹与

6、、两点，交直线于点，已知，，求的值；