韦达定理在解题中的应用

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1、贵州师范大学数学与科学系数学教育（师范类）专业2001级毕业论文选题登记表（代开题报告）姓名指导教师论文题目韦达定理在解题中的应用立题依据、研究内容、写作计划、主要参考书冃立题依据：1・韦达定理是研究一元二次方程的主要工具2.韦达定理的应用贯穿整个中学内容3•从学生的学习情况来看，由于韦达定理的应用比较灵活、多变，要较好的掌握十分困难研究内容：1.什么时候可以应用到韦达定理2.怎样运用韦达定理简化解题写作计划：1・作为一个教学，对数学家韦达应有所了解2.韦达定理的探究、推广探究：主要针对一元二次方程推广

2、：到一元n次方程3.韦达定理的应用（一元二次方程的应用、高次方程的应用）主要参考书目：初三数学教学、高中有关习题、数学史•…指导老师意见:贵州师范丸学本科学生毕业论文（设计）题目：韦达定理在解题中的应用学院：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级：2001级学生姓名：指导教师：论文字数：3250个完成日期：2005年3月20日韦达定理在解题中的应用摘要：韦达定理（及其逆定理）是中学数学中的一个重要定理；它的应用贯穿在中学数学内容之中；在解决方程、三角、几何等问题中有着广泛的应用；本文主要介绍实数范

3、围内韦达定理在一元二次方程中的应用。关键词：方程、应用（MathsandComputersciencedepartmentsGuizhouNormalUniversityxGuiyang.GuizhouxChina^550001）Abstract:VedaTheoryisanimportanttheoryofMathsinMiddleschool;AnditisusedinmanypartsofMiddleMaths^solvingproblemsofequation、triangle^geometry

4、andsoon.ThisessayintroducesinrealtheuseofVedaTheoryinquadraticequation.Keyword:equation,application.韦达定理（及其逆定理）是初中课程中的重要定理，不仅在初中，就是在高中解题时都经常会用到它。鉴于它应用的灵活性，在解决有关方程、三角、几何等问题中都有着广泛的应用。一些问题，可以运用韦达定理直接求解。比如：已知方程，求两根的和与积；已知一元二次方程的一个根,求另一个根与未知系数等等。另一些问题，初看起来没有方

5、程的影子，也不是两数之和与两数Z积问题，没有直接运用韦达定理的条件。但是，经过适当的变形或转化以后，就显出了一元二次的影子，或者变成两数之和与两数之积的问题了，于是可以运用韦达定理（及其逆定理）來求解。下面介绍韦达定理及其应用：一.韦达定理及其逆定理定理：如果一元二次方程a^+bx+c^Ofa^b、c为常数，g不为零丿的两个根为q、也，则山+也=卫，和2=；aa这个定理是由法国数学家韦达研允和推广的，所以叫韦达定理。推导：我们可以通过求根公式求出+睡2a—h—a/AI2ATTI7/—bc(/=b^-

6、4cic),那么Xi+X2=——/XX2=—aa2a注：在实数范围内应用韦达定理，必须注意Ano这个前提条件，而应用判别式的前提是方程必须是一元二次方程。即二次项系数gho。因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含△no和QH0两个条件。但该定理不仅在实数范围内成立，可以证明，它在复数范围内仍成立。逆定理：如果%i+x2=—/兀1兀2=£，则一元二次方程ci^+bx+c=0（a>b、c为常数，g不为零）aa的两个根是兀1、兀2。证明：ax'-^bx+c-Q（qhO）=>x2+—x+—=0cia2彳b

7、、ccn兀--（——x）+—=0aa=>x2-(xt+x2)x+兀

8、兀2=0=>(x-x})(x-x2)=0Xi/兀2为aj^+bx+c=0(a^O)的两个根。韦达定理还可以推广到一元高次方程的情况，即如果一元刀次方程a.J+—+alJr+

9、x+ad-bc=0的根，证明兀/，也3是方程>,2-（«3+d3+3adc^-3bccl）y+（ad-bc）3=0的根。证明：由已知条件得X+疋二XX2=ad-bc；…兀1"+兀23=（兀1+疋）3・3兀1兀2（兀1+兀2）=/+护+3adc+3bcd,X[3x^=（xiX2）3=（ad-bc）3。由韦达定理逆定理可知，X2是方程y2-（a3+3adc+3bcd）y^-（ad-bcf=0的根。（2）由已知方程的一个根，求另一个根及未知系