实变函数试题集锦

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1、实变函数测试题集锦一、填空题设,,则.,因为存在两个集合之间的一一映射为.设是中函数的图形上的点所组成的集合,则,.若集合满足,则为集.若是直线上开集的一个构成区间,则满足:,.设使闭区间中的全体无理数集,则.若,则说在上.设,,若,则称是的聚点.设是上几乎处处有限的可测函数列,是上几乎处处有限的可测函数,若,有,则称在上依测度收敛于.设,,则的子列,使得.11.=.12.=.13.到的双射是.14.的全体聚点所组成的集合包含于的充要条件是.15.中无理数集的外测度为.16.中所有开集生成的代数记为B,称B中的集合为.17.若,则对任意的点集,必有.18.当为闭区间时,.19.设函数在

2、可测集上几乎处处有限,若对任意给定的,存在中的一个闭集,使,且在上连续,则是可测集上的.20.是否存在开集使其余集仍为开集(是或不是选其一填写).21.如果则称是自密集,如果则称是开集,如果则称是.22.设表示为一列开集之交集:,则称为.23.若表示为一列闭集之并集:,则称为.24.(),在上可测,则=.25.Cantor集的外测度为.26.(Fatou引理)设是可测集上一列非负可测函数,则.二、判断题.正确的证明,错误的举反例.若可测,且,则.设为点集,,则是的外点.点集的闭集.任意多个闭集的并集是闭集.若,满足,则为无限集合.6.若与它的真子集对等,则一定是有限集.7.凡非负可测函

3、数都是可积的.     8.设为空间中一非空集,若则9.设为可测集,则存在型集,使得,且.10.在上可积,则在可积且三、计算证明题1.证明:2.设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明为可数集.3.设,且为可测集,.根据题意,若有,证明是可测集.设是集,.求.设函数在集中点上取值为,而在的余集中长为的构成区间上取值为,,求.求极限:.7.开集减闭集后的差集为开集,闭集减开集后的差集为闭集.8.上全体有理数点集的外测度为零.9.设函数列在上依测度收敛,且于,则于.10.设在上可积,则.11..12、证明。证明:设,则,使一切,,所以,则可知。设,则有,使

4、,所以。因此,=。13、设。求在内的,,。解:,,。14、若,对,存在开集,使得且满足,证明是可测集。证明:对任何正整数,由条件存在开集,使得。令,则是可测集,又因,对一切正整数成立,因而=0,即是一零测度集,故可测。由知可测。证毕。15、试构造一个闭的疏朗的集合,。解:在中去掉一个长度为的开区间,接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为的两个开区间,以此类推,一般进行到第次时,一共去掉个各自长度为的开区间,剩下的个闭区间,如此重复下去,这样就可以得到一个闭的疏朗集,去掉的部分的测度为。所以最后所得集合的测度为,即。16、设在上,且几乎处处成立,,则有a.e.收敛于。证明因为,则存在

5、,使在上a.e.收敛到。设是不收敛到的点集。,则。因此。在上,收敛到,且是单调的。因此收敛到(单调序列的子列收敛,则序列本身收敛到同一极限)。即除去一个零集外,收敛于,就是a.e.收敛到。17、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列连续函数,使得于。证明:因为在上可测,由鲁津定理,对任何正整数,存在的可测子集,使得,同时存在定义在上的连续函数,使得当时有=。所以对任意的,成立,由此可得。因此,即,由黎斯定理存在的子列,使得a.e于.证毕。18、设为a.e有限可测函数列,证明:的充要条件是。证明:若0,由于,则。又,,,常函数1在上可积分,由勒贝格控制收敛定理得。反之,若(),而

6、且,对,令,由于函数,当时是严格增加函数,因此。所以,即。19、试求。解令,则为非负连续函数,从而非负可积。根据积分逐项积分定理,于是,。20、设,a.e.有限的可测函数列和,,分别依测度收敛于和,证明。证明:因为于是,成立,所以即21、试从求证。证明:在时,,由L逐项积分定理,另一方面因此可得:。22..23.设是一个集合,、是两个集列,证明:.24.设是上一列几乎处处有限的可测函数,,证明:存在一列可测集,,使得,而在每个上一致收敛于.25..26..27.叙述并证明鲁津(Lusin)定理的逆定理.28.设,是上有限的可测函数,证明:存在定义在上的一列连续函数,使得于.

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