实变函数期中试题

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1、得分一、选择填空题（每小题3分，共36分）1．设，n=1,2,…则：2．代数数全体的基数是3．开集的构成区间是4．设与分别为的正、负部，用它们表示为5．设在上可积，改变积分序有6．叶果洛夫定理可概述为几乎处处收敛的可测函数列是一致收敛的7.符号函数在点处的列导数是8.设为中的全体有理数，则=9.下列不是有界变差函数的是在上单调有限在上满足李普希兹条件10.有界变差函数的不连续点的个数是有限可数至多可数不可数11.设，为不可数无限集，则为12.设，则为孤立点集开集闭集完备集——————————————————密————封————

2、线————内————答————题————无————效————————————得分二、判断题（在题前括号内填或√）（每小题2分，共20分）（）1．若，则（）2．若有界，则（）3．若无界，则（）4．若，则（）5．若都可测且，如果，则（）6．若可测，可数，则（）7．几乎处处有限的可测函数是“基本上”连续的（）8．几乎处处收敛比依测度收敛强（）9．若，则在上可积（）10．函数在一点的列导数是唯一确定的得分三、（本题6分）设在康托尔集上定义函数，在的余集中长度为的构成区间上定义为,证明可积分，并计算积分值得分四、（本题8分）设在可测集上

3、，而，，证明：——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————得分五、简答题（每小题5分，共30分）1．证明：若，且，则2．证明：单位正方形与整个平面对等3．设且可测，，又，证明：可测4．证明：可测时，关于的特征函数是上的可测函数5．讨论与之间可测性的关系6．设，，计算