神秘而奇妙的幻方(上)[权威资料]

《神秘而奇妙的幻方(上)[权威资料]》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

神秘而奇妙的幻方(上)　　在国内电视娱乐节目《最强大脑》某一期里，就挑战成功与否，选手与专家展开了激烈争执，甚至引发了场下的微博大战。他们所争执的内容即是神秘而奇妙的幻方。　　什么是幻方？幻方有哪些独特的魅力？就让我们通过下面的文章了解一下。　　幻方是一种起源于我国的传统数字益智游戏。即把从1到n2个连续的自然数不重不漏地填入n×n的方格里，使每行、每列和两条对角线上的n个数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方，这个相等的和叫幻和。我国南宋著名数学家杨辉称之为“纵横图”，在其于1275年所著的《继古摘奇算法》中，不仅给出了构造3阶幻方的最简口诀，而且还记载了4～10阶幻方的构造方法。　　其后，这种古老且神秘的“纵横图”于15世纪初经东南亚国家、印度、阿拉伯流传到西方，在欧洲各国风行一时。就连欧拉和富兰克林等许多著名数学家和科学家，也对幻方产生浓厚的兴趣，并进行了有趣的探索。　　由于“纵横图”具有变幻莫测、高深奇妙的特性，以至于西方把它称之为MagicSquare，翻译成中文就是“幻方”。 　　千百年来，随着人们对于幻方研究的深入，幻方已经成为数学园地中的一朵奇葩。众多爱好者痴迷其中，追求更高阶、更特别的幻方，研究成果层出不穷。而且幻方的形式已经突破了原先n×n的方格模式，幻方中的元素也不再限定为从1开始的连续自然数，抑或并非每行、每列及对角线上数字之和相等，而是之差、之积、之商相等，各种稀奇古怪、趣味盎然的非正规幻方不断走入人们视线，其独特的构成和性质也引起人们强烈的好奇和关注。　　幻方的起源　　关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图。这就是“河图”（如图1），据说，伏羲氏凭借着“河图”而演绎出八卦。许多研究者认为，这是最早的幻方衍生雏形。后来，大禹治水时，洛水中浮出一只神龟，它背上的图文被称之为“洛书”（如图2）。　　公元6世纪前后，我国南北朝时期的北周数学家甄鸾，曾对“洛书”进行了数学分析，使人们认识到蕴含其中的特性：在这个实际从1到9排成3行3列的“九宫”数表中，每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和都相等（等于15），也就是如今的3阶幻方（如图3）。由此，“洛书”成为世人公认的最原始、最低阶的幻方，亦被称为“九宫图”。　　幻方的构作　　对于3阶幻方的构作，南宋数学家杨辉给出了4句要诀：“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。”按序操作，任何人都可以轻而易举地完成。图解如下：　　即先将1～9这些数字按序连续排成菱形位置;然后，将上下两头的数字1和9对调，再将左右两端的数字7和3对调;接着，将紧缩在里面的4个偶数2、4、6、8沿正方形对角形方向挺出到四角，则3阶幻方大功告成。　　现代数学推导构作3阶幻方的步骤是： 　　先求幻和：幻和=n×（n2+1）÷2，则3阶幻方的幻和=3×（32+1）÷2=15;　　确定中心数：根据每行、每列和两条对角线上的幻和相等，以及中心数是第二行、第二列和两条对角线幻和的公共数，可求出中心数为5，这是关键步骤;　　定四角数：通过假设法和奇偶性判定四角上的数必为偶数，即2、4、6、8;　　定其他数：接着稍加试验就很快得出完整的3阶幻方。　　对于更高阶的奇数阶幻方和偶数阶幻方的构作，研究者给出许多奇妙的方法，在此就4阶幻方和5阶幻方分别介绍一种简易构作方法。　　4阶幻方的构作方法――对称交换法：先将1～16依次按序填入4×4方格中，两条主对角线上的8个数不变，其余各数按中心对称交换（即把2和15，3和14，5和12，9和8交换），这样，就得到了一个4阶幻方。　　5阶幻方的构作方法――平移补空法：先画一个如图5的阶梯式图表，把1～25按倾斜行从右上到左下依次填入图中;再以中间5×5方格为基础，画出一个5阶方阵来，按照对称原理，把方阵外的数按上移下、下移上、左移右、右移左的方法，平移到对应部分的空格中，即得一个5阶幻方（如图6）。　　可以想象，不管是奇数阶幻方，还是偶数阶幻方，不管是正规幻方，还是非正规幻方，要想顺利构造出来，都不是件轻而易举的事。若没有痴迷陶醉的兴趣、锲而不舍的信念和执著不懈的努力，几乎可以肯定是徒劳无功的结局。 　　下面要向大家介绍的各种奇异珍品幻方，其精彩绝伦的背后更是蕴含着创作者的呕心沥血和百般巧思，令人在叹为观止之余，不禁肃然起敬。　　铁板幻方　　国外研究幻方的构造大约从14世纪才开始，比我国要晚1000多年。目前所知外国人所造的最早幻方是于1957年在西安东郊元代安西王府遗址出土的元朝文物――铁板幻方（如题图）。它们现存于陕西省历史博物馆。据推测，这两块铁板是13世纪时由阿拉伯天文学家札马鲁丁在中国监制而成。就出土地点和时代背景而言，这个铁板幻方显然受到中国幻方研究的影响。　　经考证鉴定，这块长14厘米，厚1.5厘米的铁板上，铸有阿拉伯数字1～36，恰好构成一个6阶幻方。稍加验证可以发现，这个6阶幻方的幻和为111。除此之外，人们还发现了铁板幻方具备一般6阶幻方不具有的奇妙特性：　　第一，铁板幻方中第1行和第6行、第1列和第6列中六个数的平方和相等。　　第二，去掉铁板幻方最外一层数字，中间剩下的部分仍然是一个4阶幻方（图7）。这个4阶幻方由11～26这16个数组成，其每行、每列及两条对角线上的4个数字之和都是74。　　第三，上面提到的4阶幻方还是一个完美幻方。即各条泛对角线（与两条主对角线平行同样经过4个数的线）上的4个数字之和也都是74。比如：15+19+22+18=23+21+16+14=11+23+26+14=74。 　　铁板幻方是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，它表明，当时人们对6阶幻方的数字秘密已经有了一些基本了解。　　画家幻方　　如果说，艺术家有不按常理出牌的特点，那么，中世纪德国著名画家阿尔勃列希特・丢勒在其功成名就之时，突然宣布开始转向数学研究，这种跨度似乎就难用心血来潮或别出心裁来解释了。即便如此，这位酷爱幻方的画家为其1514年创作的名画《忧郁》添加的一个特别的背景――4阶幻方（如图8），足以显示自己业余爱好的非凡水准。　　用数学眼光来判断，丢勒苦心经营的4阶幻方看似非常普通。唯一比较鲜明的是，幻方最后一行中间两个数是15和14，恰好隐含了这幅作品的创作年代，似乎也仅此而已。由于已经构成的4阶幻方多达880种，为数众多，各有千秋、精彩纷呈，所以人们当初并没有对画中的幻方高看一眼。但到了21世纪，当幻方专家重新浏览这则幻方时，竟然发现数百年来“有眼不识泰山”，其中蕴含却被忽视的种种特性足以让人刮目相看。　　在这个幻方中，角上4个数字之和16+13+4+1=34，等于4阶幻方的和常数，这可不是幻方的常规要求，看似无心却是有意。　　在这个幻方中，角上的4个2×2小正方形和中央的一个2×2小正方形的4个数字之和仍等于幻方常数。即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+8=7+12+14+1=10+11+6+7=34，其中的机巧令人眼前一亮。 　　在这个幻方中，对角线上8个数字之和等于不在对角线上的8个数字之和。即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+9+14+15+12+8=68，这显然出乎人们的意料和想象。　　这还没完，人们继续尝试后又有新发现：对角线上8个数字的平方和等于不在对角线上的8个数字的平方和。即162+102+72+12+132+112+62+42=22+32+52+92+142+152+122+82=748，这就更为奇巧难得了。　　随后，研究者继续下面的尝试并发现：对角线上8个数字的立方和等于不在对角线上的8个数字的立方和，大家不妨验证一下，它们的和常数都为9248。如此“不变其宗”的机变实在让人拍案叫绝。　　一个画家的数学造诣和精巧构思竟然如此高深，配合珠联璧合的挖掘真是叫人叹服。　　“富兰克林幻方”　　富兰克林是18世纪美国最伟大的科学家，著名的政治家和文学家，其捕捉雷电的故事广为人知。令人惊讶的是，他还是位颇有才华的数学爱好者，曾对幻方进行过深入研究，并制作过一则由1～64组成的8阶幻方，其中还包含4个子幻方（如图9），至今让幻方迷津津乐道。　　稍加辨析，“富兰克林幻方”除了每行每列的8个数字之和都等于260以外，其内蕴的其他种种奇妙性质，让人在细细回味之余惊讶不已。　　首先，4个子幻方的每行、每列上各数和为130。　　其次，幻方角上的4个数与最中心4个数之和等于幻和值260。　　第三，从16到10，再从23到17所成折线“∧”上8个数字之和 也为260;且平行这种折线的其他“∧”（包括中断进行增补）上的8个数字之和也为260。　　第四，由任意4个小方格组成的2×2正方形中，4个数字之和都是130。　　最后，任何4个与中心等距离且位于子幻方中对等（对称）位置的数之和为130。比如：3+30+63+34=5+28+57+40=130。　　“富兰克林幻方”虽然变化多端;但美中不足的是，它的对角线上8个数字之和不等于260，这也导致4个子幻方的对角线上的4个数字之和不等于130。这并不符合经典幻方的定义。即便如此，“富兰克林幻方”仍以其非凡的特性，获得幻方研究者的一致好评和推崇。　　幻方大王　　“富兰克林幻方”的小小缺憾，引发了无数幻方爱好者的兴趣，许多人都潜心研究试图达成圆满。俗话说“功夫不负有心人”，随着人们的不懈努力，这个问题最终被幻方大王弗里安逊圆满解决。弗氏构造的8阶幻方（如图10）完美解决了“富兰克林幻方”存在的小缺陷，并且具备更多奇妙的特性，让人回味无穷、叹为观止。　　稍加验证可知，这是一个精确的8阶幻方。每行、每列和两条对角线上的8个数字之和都等于幻和260。　　4个子幻方的每行、每列和两条对角线上的4个数字之和都等于130。　　幻方的中间4排可以构成左右两个4阶幻方（如图阴影部分），幻和都是130。 　　图中含有25个2×2小正方形（按上下左右的顺序有16个，再加上标注中心的9个，彼此没有重叠），每个方阵中的4个数字之和都等于130。　　图中含有24个3×3小正方形（最上面3排可构成4个，依次往下共计类似6种情形），每个方阵中的角上4个数字之和都等于130。　　图中取出任何一个4×4小正方形，其中各数字之和都等于520。　　图中取出任何一个5×5小正方形，角上的4个数字都成等差数列。　　图中任何一个长方形，只要以为中心的，角上4个数字之和也都等于130。　　除此之外，图中甚至还暗含8个数字之和都等于260的垂直锯齿形、水平锯齿形等特殊序列。　　不愧是幻方大王，如此巧思竭虑、妙不可言的幻方，确实算得上是幻方中的大王。（未完待续）　　【责任编辑】赵菲文档资料：神秘而奇妙的幻方(上)完整下载完整阅读全文下载全文阅读免费阅读及下载阅读相关文档:关于专车问题纳入公共政策议程的进程分析从刑法学视角解读暴力拆迁行为浅谈我国食品安全的长效机制建设国有企业依法治企工作的认识与思考论会计专业《审计学》课程的教学改革高职院校试行现代学徒制的现状及其对策研究探索专业技术人员继续教育创新的途径新时期工会组织民管职能的思考 关于黄石市建设美丽乡村的调查与思考关于国企深化改革中加强党组织建设的思考和建议关于勘察单位改制中的思想政治工作探究浅谈民用建筑施工节能技术管理商业团购行为在西藏地区发展的调查研究跟踪审计与廉政建设的思考财政专项资金绩效审计的现实挑战及解决方案国有企业集团内部审计的管理咨询功能感谢你的阅读和下载*资源、信息来源于网络。本文若侵犯了您的权益，请留言或者发站内信息。我将尽快删除。*