《聊斋俚曲集》序数范畴研究

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1、《聊斋俚曲集》序数范畴研究1、相关定义1.1、范畴论的基础概念现代数学许多领域的研究都可以概括为对特定的数学对象及这些对象之间的映射的研究。例如,集合和集合之间的映射是集合论研究的主要对象,群(或环)和群同态(或环同态)构成了群论(或环论)的主要研究对象,拓扑空间及拓扑空间之间的连续映射构成了拓扑学的主要研究对象等等。范畴的概念正是这些特定的数学对象和映射的概括和抽象。定义1.1一个范畴(Category)C是由:(1)一族对象(object)obC;(2)任意一对对象A,B,对应一个集合C(A,B),其元素称为态射(morphism),使得

2、当A≠A’或者B≠B‘时,C(A,B)与C(A‘,B‘)不交。组成,满足下面条件:(a)复合运算律(compositionlaw):若A,B,C∈obC,f∈C(A,B),g∈C(B,C),则存在唯一的gf∈C(A,C),称为f与g的复合;(b)结合律(associativity):若A,B,C,D∈obC,f∈C(A,B),g∈C(B,C),h∈C(C,D),则有h(gf)=(hg)f;(c)单位态射(identitymorphism):每一个对象A,存在一个态射1A∈C(A,A)使得对任意的f∈C(A,B)及g∈C(C,A)有f1A=f和

3、1Ag=g。6下面通过详细罗列对象和态射给出一些普遍的范畴,如表1-1。表1-1范畴实例范畴对象态射Set集合函数Top拓扑空间连续的函数Vect向量空间线性转换Grp群群同态PO偏续集单调函数单态射:设C是一个范畴,f:A→B是C中的一个态射。如果对C中的任意一对平行态射g,h:C→A使得fg=fh,则有g=h,称f是一个单态射(monomorphism)。满态射:设C是一个范畴,f:A→B是C中的一个态射。当且仅当C中的任意一对平行态射g,h:B→C使得gf=hf,则有g=h,称f是一个满态射(epimorphism)。定义1.2设C和D

4、是范畴,一个函子(functor)F:C→D由两个映射组成:obC→obD:AaF(A),MorC→MorD:f→F(f)。满足dom(F(f))=F(dom(f)),cod(F(f))=F(cod(f)),F(1A)=1F(A),并且若dom(g)=cod(f)则F(gf)=F(g)F(f)。任意范畴C都存在一个到自身的单位函子1C:C→C使得在对象和态射上的对应都是恒同的。群范畴Gp(拓扑空间范畴Top,环范畴Rng,R模范畴ModR等)存在一个到集合范畴Set的遗忘函子G,使得G把每个群(拓扑空间,环,R模等)对应为所在的集合,而把每个

5、群同态(连续映射,环同态,R模同态)对应为自己。一般地,我们称一个函子Cop→D为C到D的反变函子(contravariantfunctor)。定义1.3设C与D是范畴,F:C→D与G:C→D是两个函子。一个自然变换(naturaltransformation)α:F→G是一个映射obC→MorD:Aa(αA:F(A)→G(A)),A∈obC使得对C中的任意态射f:A→B,G(f)αA=αBF(f)成立,即下面的图标交换:7F(A)αAG(A)F(B)G(B)F(f)G(f)αB如果自然变换α:F→G满足对任意的A∈obC,αA:F(A)→G

6、(A)是一个同构,则称α是一个自然同构(naturalisomorphism)。在一些研究中,我们经常会遇到这样的构造:给定某个具体范畴的一个小的子范畴(也可以看作一个小范畴到该范畴的一个函子的像),存在一个对象以及该对象到子范畴中的每个对象的一个态射构成的可交换态射族具有”万有性质”,或者存在一个对象以及子范畴中的每个对象到该对象的一个态射构成的可交换态射族具有”万有性质”。例如,给定一族拓扑空间{Xii∈I},则积空间i∏X到每个因子空间的射影族{i:ii}π∏X→Xi∈I具有”万有性质”:对任意一个拓扑空间X以及连续映射族{fi:X→X

7、ii∈I},存在唯一的连续映射:iif=fX→∏X使得每个fi都可以通过f分解为fi=πif。这种性质可以抽象为纯粹的范畴性质,即为范畴极限和余极限。定义1.4设J是一个小范畴,我们称任意一个函子D:J→C为范畴C中的一个J型图(在J明确的情况下可简称为图)。如果J是一个有限范畴(即obJ是有限集),则称J型图是一个有限图。对J中的每个对象j,称D(j)为该J型图的顶点。对J中的每个态射α,称D(α)为该J型图的边。定义1.5设D:J→C是一个J型图,A∈obC:(1)如果态射族{}‘λj:A→D(j)j∈obJ满足对任意的J态射α:j→j‘

8、都是有等式‘λj=D(α)λj成立,即下面图表交换:AD(j)D(j‘)λjλj’D(α)则称{λj:A→D(j)j∈obJ}是一个D上的锥形,A称为该锥形的顶点。