必修1 第二章 基本初等函数基本题型分类

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1、必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)基本题型分类题型一:指数与指数幂的运算和对数与对数的运算(一)化简求值:1.化简.1.解:.2.化简.2.解:.3.化简.3.解:.(二)含附加条件的幂的求值4.已知,求下列各式的值.(1);(2);4.解:(1)由两边平方得:,即.(2),∴.题型二:指数函数、对数函数、幂函数的定义5.(1)下列以x为自变量的函数,其中为指数函数的是()A.B.C.D.(2)如果函数是指数函数,则有()A.B.C.D.5.解:(1)B;(2)C;由指数函数的三大特征:①的系数为1;②底数且的常数;③

2、指数位置上仅有自变量.【规律总结】①系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③指数函数的指数仅有自变量.6.函数是对数函数,则实数.6.解:解得:.【规律总结】判断一个函数是否为对数函数的方法:7判断一个函数是对数函数必须是形如且的形式,即必须满足以下条件:7.函数是幂函数,且当时,是增函数,则的解析式为.7.解:因为函数是幂函数,所以解得:;.【规律总结】由幂函数的特征:①指数为常数;②底数为自变量;③系数为1.题型三:指数函数、对数函数、幂函数的图象8.(1)函数的图象过定点.8.解:(1)令,,,所以函数的

3、图象过定点.【归纳总结】:函数恒过定点问题,令解出,则定点为.(2)如图是指数函数(1),(2),(3),(4)的图象,则与1的大小关系为()A.B.C.D.(2)令,这时各自的函数值就是它们的底数,从而大小显而易见;答案:B.9.(1)函数且的图象恒过点.(2)如图所示的曲线是对数函数,,,1图象,则与1的大小关系为.9.解:(1)令,,所以函数且的图象恒过点【规律总结】对数函数恒过定点问题(1)求函数且的图象过的定点时,只需令求出,即得定点为.(2)令,这时各自的真数就是它们的底数,从而大小显而易见;答案:.7

4、10.如图所示,曲线是幂函数在第一象限内的图象,已知分别取四个值,相应于曲线的依次为()A,B.C.D.10.解:由幂函数的性质得:答案:D.题型四:指数函数、对数函数、幂函数的性质(一)比较大小(1)已知,则的大小关系是()(A)(B)(C)(D)(1)解:D【规律总结】:1.底数相同,指数不同,利用指数函数的单调性解决;2.底数不同,指数相同,利用指数函数的图象解决;在同一个平面直角坐标系中画出各个函数的图象,依据底数对指数函数图象的影响,按照逆时针方向观察,底数在逐渐增大,然后观察指数函数所取值对应的函数值即

5、可.3.底数不同,指数也不同:采用中间量法.取中间量1,其中一个大于1,另一个小于1;或以其中一个指数式的底数为底数,以另一个指数式的指数为指数.比如要比较与的大小,可取或为中间量,与利用函数的单调性比较大小,与利用函数的图象比较大小.(2)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则(  )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b(2)解:B【规律总结】:1.若底数为同一常数,则可根据对数函数的单调性直接进行比较;2.若底数为同一字母,则可根据底数对对数函数单调性的影响,对底

6、数进行分类讨论;3.若底数不同,真数相同,则可以根据对数函数的图象进行比较;4.若底数和真数均不相同,则常借助1,0等中间值进行比较.(3)设,则的大小关系是()A.B.C.D.(3)解:A【规律总结】:1.若指数相同,底数不同,则考虑幂函数;2.若指数不同,底数相同,则考虑指数函数;3.若指数与底数都不相同,则考虑取中间量法;取中间量1,其中一个大于1,另一个小于1;或以其中一个指数式的底数为底数,以另一个指数式的指数为指数.比如要比较与的大小,可取或为中间量,与利用函数的单调性比较大小,与利用函数的图象比较大小

7、.(二)求函数值域或最值11.求函数在上的值域.11.解:7设,∵,∴,所以函数在上单调递减,在上单调递增,∴当时,;当时,;所以函数在上的值域为.【规律总结】求形如:函数的值域.使用“换元法”设,从而原函数变为关于的一元二次函数;由,求出的值域,即的范围为,进而转化为求一元二次函数在上的值域.此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想.12.求函数的值域.12.解:函数的定义域为R;设,所以,所以,所求函数的值域为.【规律总结】求形如函数的值域.使用“换元法”设,求出的值域,从而转化为在的值域(使用指数函数的单调性

8、).13.已知满足不等式,求函数的最值.13.解:由得,则,即,∴;又令,∵,∴,则,∴,.【规律总结】求形如:时,函数的值域.使用“换元法”设,由,求出值域,即的范围为7,进而转化为求一元二次函数在上的值域.此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想.14.求函数的值域.14.解:设,∵,从而,∴,∴,所以函数的值域为.【规律总结】求形如函数的值域.使用“换

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