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1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。欧几里得几何学的公理体系.欧几里得几何(Euclidgeometry)起源于古埃及,当尼罗河泛滥后,为了重新整理土地而需要进行丈量.因此她们用geometry一词,其原意就是”丈量土地”.自此就开始了对图形的研究.Euclid《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来,而成为一个逻辑体系.由于这个《原本》中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等,而直接研究图形的部分最多,因此,中文译本将书名译成为《几何原本》.(”几何”来自”geo”的音译)几何学是数学科学中关于图形的数学分支.在这一阶段,几何学
2、就意味着数学的全部,古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中.”数”与”形”的结合,是17世纪开始的,由于代数学、分析学的发展,并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支,数学家R.Descartes首先建立了解析几何学,她利用坐标系,将图形问题转化为数量之间的问题,并用代数的计算方法来处理几何问题.于是,相对于解析几何学来说,不用坐标而直接研究图形的几何学,称之为纯粹几何学.纯粹几何学资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。的进一步发展,就是射影几何学.十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何,这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理.在n维向量空
3、间建立后,几何体系就综合成了n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何.把几何学用”群”的观点统一起来加以论述,也就是”埃尔兰根纲领(Erlangenprogram,1872)”,德国数学家F.Klein的一篇不朽论文):每种几何学视为由一个点集组成的”空间”,以及”由到的变换群”所确定的,研究的子集(图形)性质中对于来说不变的性质,这就是几何学.在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天,几何学的发展日新月异,微分几何学及其发展Riemann几何学、代数几何学,在20世纪取得辉煌的成就,举世瞩目.欧几里得几何学:以平行公理为基础的几何
4、学,其公理体系的核心是:”第五共设”两条直线与第三条直线相交,在第三条直线一侧的两个角(同旁内角)之和小于两直角时,此两条直线必在此侧相交.资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。它等价于过不在直线L上的点P且平行于L的直线有且仅有一条.最初,几何学的研究对象是图形,首先要用到空间的直观性.可是,直观性有时缺乏客观性,必须明确规定公理、定义,排出直观,建立纯粹的、合乎逻辑的几何学思想.《几何原本》已经从事建立公理、定义的工作,但毕竟距今太远,缺陷很多,公理也不完备.19世纪后半叶,D.Hilbert(就是在19世界数学家大会上提出著名的Hilbe
5、rt的23问题的著名数学家,这23个问题推动了20世纪数学的快速发展)公理体系形成了,它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系.欧几里得《几何原本》的简单介绍——全书共13卷,除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外,其余各卷都是关于几何内容的.第1卷:平行线、三角形、平行四边形的有关定理;第2卷:毕达哥拉斯定理及其应用;第3卷:关于圆的定理;资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。第4卷:圆的内接与外切多边形定理;第6卷:相似理论;第11、12、13卷:立体几何.《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系,结构是由定义、共设、公理、
6、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义.前6个定义是:(1)点没有大小;(2)线有长度没有宽度;(3)线的界是点;(4)直线上的点是同样放置的;(5)面只有长度没有宽度;(6)面的界是线.其次是5个共设:(1)从任一点到另一点能够引一直线;(2)有限直线能够无限延长;(3)以任意点为圆心,可用任意半径作圆;(4)所有直角都相等;(5)若两条直线与另一条直线相交,所成的同旁内角之和小于二直角,则此两直线必在这一侧相交.然后是5个公理:资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。(1)等于同量的量相等;(2)等量加等量其和相等;(3)等量减等量其差
7、相等;(4)可重合的图形全等;(5)全体大于部分.公理之后是一些重要的命题.要强调两点——1、”第五共设”等价于”平行公理”:2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点,例如几何逻辑结构还很不严谨;对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清;共设、公理还很不够,以至于很多定理的证明要靠几何直观,等等.然而,从辩证唯物主义的观点来看,它依然是一部不朽的著作.19世纪末,德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的《几何基础》,成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系,称为著名的Hilbert公理体系.希尔伯特的五组公理包含:结合公理、顺序公理、合同公理、平
