2018年高考数学 专题21 平面向量中最值、范围问题黄金解题模板

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1、专题21平面向量中最值、范围问题【高考地位】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【方法点评】方法一利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板：第一步

2、利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步运用基本不等式求其最值问题；第三步得出结论.例1.已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________【答案】例2如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2B．C．D．【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（）CMNABGQA．2B．C．D．【答案】C考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1,-1），B（4,0

3、），C（2,2）．平面区域D由所有满足（1≤l≤a，1≤m≤b）的点P（x,y）组成的区域．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为．【答案】4考点：1、平面向量的线性运算；2、基本不等式．【变式演练3】平行四边形中，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为．【答案】【解析】试题分析：对两边平方可得可化为，据已知条件可得，即，又，则.故本题填.考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二利用向量的数量积求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步运用向量的数量积的

4、性质求解；第三步得出结论.例3已知的顶点坐标为，，，点P的横坐标为14，且，点是边上一点，且.（1）求实数的值与点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）.考点：向量的数量积，向量共线.【点评】其解题思路为：（1）由，根据向量共线，设出P点坐标即可得；（2）设出Q点坐标,根据可得一个方程，然后利用Q在AB上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得Q点坐标；（3）由R在线段OQ上可利用向量共线设R坐标，注意引入的变量范围，然后分别表示出向量利用数量积得出一个关于的二次

5、函数，求这个关于的二次函数的最值即可得.【变式演练4】已知向量不共线，为实数．（Ⅰ）若，，，当为何值时，三点共线；（Ⅱ）若，且与的夹角为，实数，求的取值范围．【答案】（1）（2）.（Ⅱ）由，则，因为，当时，的最小值为当时，的最大值为所以的取值范围是考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平行向量与共线向量.【变式演练5】若直线与圆交于、两点（其中为坐标原点），则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．方法三建立直角坐标系法使用情景：一般向量求最值或取值范围类型解题模板：第一步

6、根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；第二步将平面向量数量积的运算坐标化；第三步运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即可.例3.在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（）A.B.C.D.24【答案】D【解析】以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设当时取得最小值，，选D.【点评】：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函

7、数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.例4在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.【答案】.当即(与同向)时,的最大值为.【点评】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.【变式演练6】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D，E是线段BC上的点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A考点：平面向量数量积的运算．【变式演练7】在平面上，．若，则的取值范围是（）A．B

8、．C．D．【答案】D考点：平面向量的性质．【高考再现】1.【2017全国II卷文，4】设非零向量，满足则A.⊥B.C.∥D.【答案】A2.【2017全国II卷理，12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（）A.B.C.D.【答案】B3.