2018年高考数学专题21平面向量中最值、范围问题黄金解题模板

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1、专题21平面向量中最值、范围问题【高考地位】平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范圉，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属屮高档题.【方法点评】方法一利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向

2、量求最值问题解题模板：第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步运用基本不等式求其最值问题；第三步得出结论.———*-*(I2b例1•已知点A在线段BC上(不含端点)，0是直线BC外一点，HOA-2aOB-bOC=()y则亠一+上q+2b1+b的最小值是【解析】由GA-2o0B-b0C=0可得,【答案】2V2-2OA=laOB+bOC,根JgA、B、C三点共线可得加+T,士+寻二旺畔十弓+[+*]=竺）+宅一22活一2,所以最小值为a+2b1+ba+2b2a+b+ba+2b

3、a+b2^2-2?故填2血—2.【点评】本题主要考查了不等式，不等式求最值问题「属于中档题。解决此类冋题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造2a+b=l,研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.例2如右图所示，已知点G是的重心，过点G作直线与AB^AC两边分别交于M,N两点，且IfB.A.2c.旦3【答案】C【解析】试题分析：因为M、N,G三点共线，所^MG=^7G-AM=a{aN-AG),因为G是山0

4、C重心,所以乔=£(药+阿，

5、(AB4-JC)->所以xAB=A(yAC-^—::,化简-=Ay--A〔33得(3兀-l)(3y-1)=1,解得题目所给團像可知^

6、中的应用•由题意可得跖=AGV,利用三角形重心的向量表示，化简可得(3x-l)(3y-l)=l.然后利用基本不等式来求得最值・在利用基本不等式时，所用的公式是ab等式满足一正、二定、三相等.【变式演练1】如图所示，已知点G是AABC的重心，过点G作直线与AB^AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB,AN=yAC,则x+y的最小值为()C.-A.2B.—3【答案】C【解析】JAB+AC_AB+AC――___试题分析：宙题意得：=亍2=3，又忌—衣"丽二必丽+〃元(久+"1),所臥gnjR斗”因此"5

7、%*卜护答)和+2」汁气2x=y=-且仅当时3取等号，所以选C.考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A(1,1),B(4,0),C(2,2).平面区域D由所有满足AP=AAB+//AC(1WWq,1WWb)的点P(x,y)组成的区域.若区域D的面积为8,则a+b的最小值为【答案】4【解析】试题分析：如下图所示:云=(3,1)盂=(匕3)所以，

8、2£

9、=

10、2c

11、=yJlQ>cosZBAC=3xl+lx3a/TOx^/TosinZBAC=-5因为S平行四边阿田甘=8，所以，710(-3-l

12、)^(Z>-l)siuZ5JC=8整理得：ab-{a+b)=0、因为a>0,b>0?所以胡兰所以，^^--(a+b)>0^a+b>4、其中等号当目仅当a=b时成丄斗所以答案应填:4・考点：1、平面向量的线性运算；2、基本不等式.【变式演练3】平行四边形ABCD中，ABAD=60,AB=l,AD=y/2,P为平行四边形内一点，且■—**AP=—,若AP=2AB+/M£)(2,“wR),则A+V2w的最大值为【答案】*【解析】试题分析：对4P=/L4B+“AD(入/?)两边平方可得(A?)2=(AAB+/

13、/AD)2可化为丽2=才丽2+2切・丽.丽+〃2而2,据已知条件可得+2/z~n3V2A//,即X/J.5—,又(2+a/2/z)=2“+2>/2^//+2//~=—FV2A//5—,1223考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二利用向量的数量积m-A?<

14、m

15、

16、7?

17、求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平血向量最值问题解题模板：第一步运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步运用向量的数量积的性质求解；第三步得出结论.例3已知△O4B的顶点坐标