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1、常微分方程辅导（填空题、选择题和解答题----比例是2：3：5。）第一章初等积分法一．基本类型：曲线的切线。例1．曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m倍，且通过点。分析：（1）这是一个具有基本应用型的一阶方程，它通过已知斜率与坐标之间的相关概念求解一阶方程。（2）它考核的知识点是一阶微分方程的概念、解的几何形式，它的求解，这又是重点。解：（1）设所求曲线的任意点坐标是，依题意，积分有，（2）该曲线过点，有从而有，故，所求曲线方程是+二．基本类型的求解（一）可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程。（一阶线性方程是重点）1．（1）可分离变量方程分离变量有（2）求解
2、对称式由，得从而例2。求解方程。分析：1）这是一个一阶可分离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解；2）它考核的是求解一阶可分离变量方程这一知识点。解：方程的通积分为即：如arctany=arctanx+C1.解出y得到通解y=tan(arctanx+C1)。例3．求方程的通解.分析：1）这是一个一阶可分离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解。2）它考核的是求解一阶可分离变量方程这一知识点。解：分离变量，，积分，，。2。（1）齐次方程令：有，回代得，进而积分有：其解是。例4：求解。分析：1）这是一个一阶可化为齐次方程，通过变量代换，分离变量后积分可求未知函数y(x)
3、的通解,且有常数解y=0；2）它考核的是求解一阶齐次方程这一知识点。解：将方程改写为，令：y=ux,代入上式化简有，u=0为一解，分离变量，积分有：，u换为y/x可得，，且有常数解y=0。3。一阶线性方程。若q(x)=0线性方程化为齐次方程，有利用常数变易法设：，回代方程，得解：（p-q公式）例5.求方程的通解.分析：1）这是一个一阶线性非齐次方程的模型，它可通过先求对应的齐次方程的通解，再用常数变易法求非齐次方程的特解，最后由解的结构得其通解；也可以用公式法（P-Q公式）之解求解未知函数y(x)。2）它考核的是求解一阶线性非齐次方程、常数变易法或P-Q公式这些知识点。解：法1，
4、先求齐次方程的通解，，。用常数变易法，设，求导，回代方程，积分，，+（）*，法2，代公式：=[注]Bernowlli方程令：，有，方程为，则解为(一般性掌握)。4。全微分方程（1）观察法（凑微分法）：xdx+ydy=0,有x2+y2=C，（2）公式法（重点掌握）：求解对称式方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0判别它是否全微分方程？由充要条件则全微分方程由求解公式。例6。求方程的解。分析：1）这是一个具有组合形式的一阶方程，它可通过先判断其是否为全微分方程，若是就采用求解公式直接积分；还可以用凑微分等方法求解。2）它考核的是求解全微分方程的知识点。解：（1）从而，原方程是全微
5、分方程，（2）由在全平面上可积，取：，，有，从而。例7．求解方程.分析：1）这是具有对称式的一阶方程，通过观察有积分因子(x2-1)-1(y2-1)-1,用起作用后再积分可求未知函数y(x)的通解,且有常数解x=±1,y=±1；也可视为一阶可分离变量方程，通过初等变型再积分可求未知函数y(x)的通解，且有常数解x=±1,y=±1。2）它考核的是求解一阶对称式的方程这一知识点。解：易知，是方程的解。分离变量有,（二）可降阶的高阶方程F(x,y(k),y(k+1),…,y(n))=0,令:z=y(k)，F(x,z,z’,…,z(n-k))=0,则：z=z(x,C1,C2,…,Cn-1
6、),即，y(k)=z(x,C1,C2,…,Cn-1),积分k次可得其解.例8。求解方程分析：1）这是一个具有5阶形式的微分方程，它可通过先变量代换降阶化为一解方程，再通过求解可分离变量方程得原方程的通解。2）它考核的知识点是利用降阶法求解高阶微分方程。解：它是一个5阶方程，令：，有：，通解为：z=Cx,从而y(4)=Cx,积分4次：。第二章．基本定理一、初值问题解的存在唯一性。二、定理1（解的存在唯一性）：若方程的右端在区域满足条件1）在R上连续；2）在R上关于y满足Lip----条件，方程初值问题在区间上存在唯一解y=g(x),g(x0)=y0,.（一般了解）定理2（解的延拓性
7、）。定理3（解得可微性）。重点、难点：解的存在唯一性定理，毕卡尔----逐次逼近法．例1．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是什么？分析：1）这是一个一阶微分方程，它的右边函数f(x,y)=(3/2)y1/3，通过对该函数求偏导来代替Lip----条件，可找到解的存在唯一的区域。2）它考核的知识点是用更强的条件来代替Lip----条件，得到解的存在唯一的区域。解：由f(x,y)=(3/2)y1/3知它是连续函数,则，只要y≠0它为连续的，即满足解的存在唯一性定理条件的区域是上半
