《常微分方程参考》word版

《《常微分方程参考》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、常微分方程参考试卷一．填空1．称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。2．称为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换，可化为伯努利方程。3．若（x）为毕卡逼近序列的极限，则有（x）—。4．若（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程。5．若（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为。6．如果A(t)是n×n矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在atb上满足时，方程组xˊ=A(t)x+f(t)满足初始条件x（t）=的解在atb

2、上存在唯一。7．若（t）和（t）都是xˊ=A(t)x的基解矩阵，则（t）与（t）具有关系：。8．若（t）是常系数线性方程组的基解矩阵,则该方程满足初始条件的解=_____________________9.满足_________________________________________的点（），称为方程组的奇点。10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________时，零解是稳定的，对应的奇点称为_______________________。二．计算题（60分）1．2．3．求方程经过（0，0）的第三次

3、近似解4．5．若试求方程组的解并求expAt6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三.证明题(10分)设及连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.答案一.填空1.2.3.4.5.6．A(t)f(t)连续7．8。9．中X(x,y)=0,Y(x,y)=010.为0稳定中心二．计算题1．解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为即另外y=0也是解2．解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解3．

4、解：4．线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为5．解：解得此时k=1由公式expAt=得4．解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三．证明题证明：1若该方程为线性方程则有（*）此方程有积分因子只与x有关2若该方程有只与x有关的积分因子则为恰当方程,从而其中于是方程化为即方程为一阶线性方程.-