《常微分的方程》word版

《《常微分的方程》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第九章常微分方程微分方程是含有未知函数导数或微分的等式。是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。本章重点研究常见的微分方程的解法，并通过实际问题探讨建立微分方程数学模型的思想方法。实际用微分方程验证解是否符合实际问题§1常数分方程的基本概念及分离变量法一、微分方程的基本概念1．微分方程：含有未知函数或微分的方程如：①一阶微分方程②二阶微分方程③一阶微分方程④三阶微分方程一般的：称为阶微分方程2．常微分方程：未知函数为一元函数的方程，如上例均是常微分方程。3．微分方程的阶：含有未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程的阶。

2、如①、③为一阶、②为二阶、④为三阶微分方程4．线性微分方程：各阶导数及未知函数都是一次的微方程如①、②、③、④均是线性。而为非线性微分方程5．常系数线性微分方程：线性方程中，未知函数及各阶导的系数均为常数如①、②、③是常系数③6．微分方程的解：若满足方程即则称是方程的解。如：是的解而是的任意解通解：含有任意常数的解，且任意常数相互独立、个数等于阶数。如是的通解是的通解特解：不含任意常数的解如是的一个特解是的一个特解解的几何意义：通解：一族积分曲线，称为积分曲线特解：一条曲线7．初始条件：确定任意常数的条件通常：一阶方程，初

3、始条件二阶方程，初始条件如：求解————称为初值问题解：通解：，特解：代入为初值的解例1验证：是微分方程的通解，并求满足的特解解：（1）是方程的解又是两个相互独立（无关）的任意常数，是方程的通解（2）由得解得初始条件特解Def：（线性相关，线性无关）设函数是定义在区间内的函数，若不全为零，对，都有：则称线性相关，否则线性无关。注：线性无关的如：则：与线性无关其中中与相互独立，而中，与不是相互独立的。二、分离变量法Def2：若一阶微分方程，可写成①则称其为可分离变量的微分方程解法：①式为积分是①通解例2.求下例微分方程的通解

4、（1）解：两边积分得故方程通解，其中为任意常数（2）解：得：，是通解例3.求满足的解解：原式为又得例4.设降落伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶时的速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。解：设降落伞下落速度为则①且②求解①得整理得：又故所求解：特解的物理意义：是单增函数的，且时，说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速直线运动练习：1.指出下列微分方程的阶数，并说明是否为线性方程（1）1阶非线性（2）2阶线性常系数（3）3阶非线性（4）5阶线性非常系数2．解下列微分方程（1）解（2）解（3）且

5、解由得3．验证：（c为常数）是否为为通解。解，两边微分即4．一曲线通过（1，2）点，且曲线上任意一点处切线斜率为，这条曲线方程为（答）作业：P2422(1)(2)(3),4,6,7,10(1)(3)(5)(7),11(1)(3)(5)§2一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程一、一阶线性微分方程Def：方程（1）称为一阶线性方程若，则（1）式为非齐次线性方程。若，则（1）式为（2）称为齐次线性方程解法：首先（2）式变为即则为（2）式通解其次求（1）的通解：令代入（1）式得化简：故为（1）式通解上述解法称为常数变量法。例1.

6、求解下列微方程（1）解：原式中即（2）解：原式为通解：即（3）解：原式为：通解：即（4）解：原式为通解即例2.设有连结点和的一段向上的曲线弧，对于上的任意一点，弧与直线段所围图形面积为，求曲线弧的方程解：设：则求导：即即求出通解代入得练习：1.解方程答：2.解方程三、可化为一阶变量可分离或线性微分方程1．齐次方程Def：若可写成则称其为齐次方程。解法：令原方程为即是变量可分离方程求解，再回代例3.解：令即又即例4.解：原式为令2．伯努利方程Def：方程称为伯努利方程，是的函数解法：原式为即令则为一阶线性非齐次方法方程求解还

7、原即可例4.求的通解解：原式为：即令则即作业：P24417(1)(2),18(1)(3),19(1)(3)，21