《常微分方程讲义》word版

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1、常微分方程讲义（三）常微分方程的初等积分解法：1、可分离变量方程2、齐次方程（一般含有的项），令，可消去右边的则例：例：例：例：例：3、一阶线性非齐次方程常数变易法或例：例：例：例：4、贝努利方程令，则，代入得：可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例：例：例：例：例：当为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例5、全微分方程第一种情况：若则或方程解为，其中在定义域内任取例：、例：例：例：例：例：例：第二种情况：若则找积分因子1、只存在与有关的积分因子的充要条件是，积分因子2、只存在与有关的积分因

2、子的充要条件是，积分因子例：例：例：＊微分方程解法的不确定性与灵活性：6、可降阶的二阶微分方程第一类：例：第二类：，令例：例：例：第三类：，令例：例：例：求方程的在点与直线相切的积分曲线可降阶微分方程解法的灵活性：例：，令例：，令微分方程的近似解：Picca序列给定微分方程，则有在处的第1次近似：在处的第2次近似：…………在处的第次近似：例：求微分方程，当时，y=？精确方法Picca近似：精度与误差例：求微分方程的Picca逼近数列微分方程的初值问题解的存在唯一性：定理1：设函数在矩形区域上连续；且对R上任意两点，满足Li

3、pschitz条件：。其中L是Lipschitz常数，令，则在区间上，原方程的解存在且唯一。定理2：设函数在G上连续，且在G内满足局部的Lipschitz条件，则对G内任意一点，存在一个小区间，原方程的解存在且唯一。定理3：设函数在G上连续，在G内存在并且有界或连续，则对G内任意一点，存在一个小区间，原方程的解存在且唯一。定理4：Picca序列的误差