导数的几何意义(11)

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1、探究式案例导数的几何意义时间：2009年9月5日班级：高三二班教师：张燕张新安【教学目标】（1）使学生掌握函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线的斜率。（数形结合），即：＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。（3）通过让学生在动手实践中观察、探究、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。【教学手段】采用计算机（Flash,Powerpoint），实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。【教学重点与难点】重点：导数的几

2、何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。难点：探究、发现、理解及应用导数的几何意义【教学过程】（一）作业点评，承上启下：问题：在高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在时呢？教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释，时运动员的运动状态。（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）（二）课题引入，类比探讨：●问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。导数的本质是函数在处的瞬时变化率，即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　●问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形

3、）的角度来探究导数的几何意义，应从哪儿入手呢？教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”：即：导数的代数表达式，并回忆求导数的步骤。●问（三）求导数的步骤有哪几步?7第一步：求平均变化率；第二步：当趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是。（回归本质，数形结合）教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分两个步骤：●问（四）：第一步：平均变化率的几何意义是什么？请在函数图像中画出来；由学生乙回答：平均变化率的几何意义是割线AB的斜率。。教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。●问（五

4、）：第二步：时，割线有什么变化？请画出来。教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：，当，割线有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在处的切线，请把它画出来。教师展示学生作品，引导学生发现，并说出：（形），割线切线，则割线的斜率切线的斜率由数形结合，得　＝切线的斜率所以，函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线AD的斜率。（数形结合）。（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）（三）动画演

5、示，总结归纳1．演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。2．教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示Powerpoint动画。7初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义

6、为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。3．根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几

7、何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。）（四）训练巩固、加强理解：1．在函数的图像上，（1）用图形来体现导数，的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？7　（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）2．如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根