2012高中数学 第2章2.1.1知能优化训练 湘教版选修1-1

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1、知能优化训练1．(2011年福州高三质检)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)A．6　　　　　　　　　　　B．5C．4D．3解析：选A.根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．已知F1，F2为两定点，

2、F1F2

3、＝4，动点M满足

4、MF1

5、＋

6、MF2

7、＝4，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析：选D.虽然动点M到两定点F1，F2的距离之和为常数4，由于这个常数等于

8、F1F2

9、，故动点M的轨迹是线段F1F2.3．已知椭

10、圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)A．4B．5C．7D．8解析：选D.由题意，得m－2>10－m>0，于是6－b>0.所以椭圆的焦点在y轴上，c2＝－a＋b，c＝±，故焦点坐标为(0，±)．答案：(0，±)一、选择题1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1　　　　　　　B.＋y2＝1C.＋＝1

11、D.＋x2＝1解析：选A.c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　)A．20B．12C．10D．6解析：选A.∵AB过F1，∴由椭圆定义知∴

12、AB

13、＋

14、AF2

15、＋

16、BF2

17、＝4a＝20.3．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)A．5B．6C．7D．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x，则x＋2＝10，x＝8.4．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C．x2＋＝1D.＋＝1解析：选D.由

18、题意知a2－2＝4，∴a2＝6.∴所求椭圆的方程为＋＝1.5．焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1或x2＋＝1解析：选D.b2＝a2－c2＝1，分焦点在x轴上或y轴上两种情况，故答案有2个，即＋y2＝1或x2＋＝1，且这两个椭圆的形状完全相同．6．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选B.S△PF1F2＝×8b＝12，∴b＝3，又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25，∴椭

19、圆的标准方程为＋＝1.二、填空题7．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．解析：∵2a＝8，∴a＝4，∵2c＝2，∴c＝，∴b2＝1.即椭圆的标准方程为＋x2＝1.答案：＋x2＝18．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.解析：由题意知，

20、AC

21、＝8，

22、AB

23、＋

24、BC

25、＝10.所以，＝＝＝.答案：9．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由题意知解得3

26、椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5)，把M点坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1.11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．∵F1A⊥F2A，∴·＝0，而＝(－

27、4＋c,3)，＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝

28、AF1

29、＋

30、AF2

31、＝＋＝＋＝4.∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.12．已知P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点．(1)求

32、PF1

33、·

34、PF2

35、的最大值；(2)求

36、PF1

37、2＋

38、PF2

39、2的最小值；(3)求∠F1PF2的最大值．解：如图，由题意知，F1(－，0)，F2(，0)．设

40、PF1

41、＝m