《微积分基本思想》word版

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1、宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》第三章微积分基本思想教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。教学时数：16学时§3.1导数的概念教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应

2、用的计算问题。教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。教学重点：导数的概念。教学难点：导数的概念。教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。一、问题提出：导数的背景.-16-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》背景：运动的瞬时速度；曲线的切线.二、讲授新课：1.导数的定义:定义设在)(0xU有定义，在自变量的改变量是，相应函数的改变量是)()()()(000xfxxfx

3、fxfy-D+=-=D，若存在，称函数在可导，此极限称为函数在的导数（或微商）。表为或。即。若此极限不存在，称函数在不可导。例1求例2设函数在点可导,求极限2.单侧导数:定义若（）存在，称函数在右可导（左可导），极限称为右导数（左导数），记为（），有时也记为（）。易见，在可导等价于在左、右可导都存在且相等。例3 考查在点的可导情况.3.导数的几何意义: 可导的几何意义,导数的几何意义,单侧导数的几何意义.-16-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》例4 求曲线在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系:定理若在可导，则必在连续。反之不成立，例如在连续，但不可导。5.导函数:定义若函数在区间

4、I的每一点都可导，则称函数在区间I可导，称为在I的导函数，简称导数，记为或或。函数在区间上的可导性,导函数,导函数的记法. 例5求的导数。例6求的导数。例7求的导数。例8求的导数。例9设，求。注意:等具体函数的导函数不能记为应记为练习P1242345810作业P12479-16-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》§3.2导数的性质教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。教

5、学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。教学方法：以问题教学法为主，结合课堂练习。一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课.二、讲授新课：（一）.可导与连续的关系定理2.1如果函数在点处可导，则必连续.证:(略)定理2.1的逆定理不成立。即连续不一定可导。如：.（二）.导数的四则运算法则:推导导数四则运算公式.(只证“”和“”)定理2.2若函数与在可导，则函数在可导，且.例1求定理2.3若函数与在可导，则函数在可导，且-16-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》。应用归纳法可将定理2推广到任意有限个函数乘积的导数。

6、推论：若函数在都可导，则可导，且。特别到常数与函数乘积的导数等于常数乘函数的导数。例2求(定理2.4若函数与在可导，且，则函数在可导，且。例3求例4求正切函数与余切函数的导数。例5求正割函数与余割函数的导数。例6证明:.例7求曲线在点处的切线方程. 练习P1301（1,3,5,7,9）235作业P13146-16-宿迁高等师范学校精品课程《数学分析》§3.3微分及其性质重点与难点：微分定义及几何意义。基本内容：1、微分定义；2、微分的运算法则和公式；3、微分在近似计算上的应用。基本要求：1、掌握微分定义及几何意义；2、掌握微分与导数的异同及其不同功用；3、会求函数的微分。基本方法：求函数微分

7、的方法。课时分配：2学时。一、微分的概念定义若函数在的改变量与自变量的改变量有如下关系，其中是与无关的常数，称函数在可微，称为函数在的微分，记为。也称为线性主部。例1设，求定理3.1函数在可微函数在可导。二、微分的运算法则和公式已知可导和可微是等价的，且。从而有：若函数与可微，则1.，其中为常数；2.；3.；4.求微分公式：1.，其中c是常数。2.，其中是常数；；。3.；-16-宿迁高等师范学校精品课程《数学