《常微分方程总结》word版

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1、（1）概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如：一阶：二阶：三阶：四阶：一般n阶微分方程的形式：。这里的是必须出现。（2）微分方程的解设函数在区间上有阶连续导数，如果在区间上，则称为微分方程的解。注：一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突

2、变。函数连续定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果则称函数在点连续。左连续：左极限存在且等于该点的函数值。右连续：右极限存在且等于该点的函数值。在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。函数在点连续1、在点有定义2、极限存在3、（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分方程的通解。注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。补充：设是定义在区间上的n个函数，若存在n个

3、不全为零的常数（强调存在性，找到一组常数即可），使得当对时有恒等式：成立。则称这n个函数在区间上线性相关。若当且仅当全等于零该等式才恒成立。则这n个函数在区间上就线性无关。例：函数在整个数轴上线性相关。恒成立。函数在任何区间→线性无关，则否则：若不同时等于零，则最多只有两个的值能是该式恒成立。对x不具有普遍性。对两个函数而言：→线性相关→线性无关定解条件（初始条件）：微分方程的通解中含有任意常数，实际情况→提出确定这些常数的条件。通解→特解一阶微分方程定解条件一般为：二阶微分方程定解条件一般为：其中都是给定的值。微分方

4、程的解→的图形是一条曲线→称作微分方程的积分曲线求微分方程满足初始条件的特解这一问题称作一阶微分方程的初值问题。记作几何意义：求微分方程的通过的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题：几何意义：求微分方程的通过点且在该点斜率为的那条积分曲线。（4）几种常见的微分方程1、可分离变量的微分方程一般形式形式：对称形式：（都可以看做函数，另一个为自变量）即：或可分离变量：如果一阶微分方程能写成的形式。特点：一端只含的函数和，另一端只含的函数和。这样微分方程称为可分离变量的微分方程。例：求解的通解。解：→→→通解：2、齐次微分方程

5、一阶微分方程可以化成的形式。求解：，（可分离变量）通解例：解方程3、一阶线性微分方程若，称为一阶齐次线性微分方程。若（），称为一阶非齐次线性微分方程。一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。解的通解如下：可分离变量的一阶微分方程（齐次方程通解）采用积分因子法求的一个特解如下：指数因子：（）的通解为：例：求解的通解齐次通解：非齐次特解：通解：4、伯努利方程形如：当时，一阶线性微分方程（公式法）当时，可分离变量微分方程求通解过程：作变量代换（积分因子公式法）例：求解的通解。（答案：）5二

6、阶线性微分方程注：表示导数写法，，，，。形如：若时，称为：二阶线性齐次微分方程。若时，称为：二阶非齐次微分方程。推广：n阶线性微分方程线性微分方程解的结构：对定理1：如果函数和都是的两个解，则也是该方程的解。其中，都是任意常数。证明：是原方程的解，则：同理、得证：是的解。定理2：如果函数和都是的两个线性无关的特解则（其中，都是任意常数）就是原方程的通解。例：解：可验证：和是的两个解，线性无关定理3：设是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，且是二阶齐次线性微分方程的通解。则是二阶非齐次微分方程的通解。定理4：设二阶非齐次微

7、分方程的右端是两个函数之和，即。形如，且与分别是和的特解，则就是原方程的特解。（解的叠加原理）例：已知是齐次方程的一个解，求非齐次线性方程的通解。（答案）6二阶常系数齐次线性微分方程形如：或二阶常系数齐次线性微分方程当均为常数，即或其中p,q均为常数。求解：三种情况：1）两个不等实根：2）两个相等实根：3）一对共轭复根：推广：